不等式的证明方法习题精选精讲.pdf

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1、不等式的证明不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。注意a2b2aba2b22ab的变式应用。常用(其中a,bR)来解决有关根式不等22式的问题。1、比较法比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。1、已知a,b,c均为正数，求证：1111112a2b2cabbcca(ab)2证明：∵a,b均为正数，∴111b(ab)a(ab)4

2、ab04a4bab4ab(ab)4ab(ab)(bc)2(ca)2同理1111110，04b4cbc4bc(bc)4c4aca4ac(ac)三式相加，可得11111102a2b2cabbcca∴1111112a2b2cabbcca2、综合法综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。1a2b2c22、a、b、c(0,)，abc1，求证：3证：3(a2b2c2)1(abc)2∴2a22b22c22ab2

3、bc2ca3(a2b2c2)(abc)2(ab)2(bc)2(ca)203、设a、b、c是互不相等的正数，求证：a4b4c4abc(abc)证：∵a4b42a2b2b4c42b2c2c4a42c2a2∴a4b4c4a2b2b2c2c2a2∵a2b2b2c22a2b2b2c22ab2c同理:b2c2c2a22bc2ac2a2a2b22ca2b∴a2b2b2c2c2a2abc(abc)4、已知a,b,cR，求证:a2b2b2c2c2a22(abc)证明：∵a2b2

4、2ab2(a2b2)a22abb2(ab)2(ab)222即a2b2，两边开平方得a2b2ab(ab)22222同理可得b2c2(bc)c2a2(ca)三式相加，得22a2b2b2c2c2a22(abc)11(1)(1)95、x、y(0,)且xy1，证：xy。11xyxyyxyx(1)(1)(1)(1)(2)(2)52()证：xyxyxyxy52291116、已知a,bR,ab1求证：11.ab9a,bR,ab

5、111策略:由于ab2ab说明a,bR,ab1的背后隐含着一个不等式ab.ab44211111ab12而11111189.1abababababab证明a,bR,ab1ab。411119.ab3、分析法分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。ababc2(ab)3(3abc)7、已知a、b、c为正数，求证：23ababc2(ab)3(3abc)证：要证

6、：23只需证：2abc33abc即：c2ab33abc∵cabab33cabab33abc成立∴原不等式成立8、a、b、c(0,)且abc1，求证abc3。证：abc3(abc)23即：2ab2bc2ac2∵2abab2bcbc2acac即2ab2bc2ac(ab)(bc)(ac)2∴原命题成立4、换元法换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。ab(1a2)(1b2)19、︱a︱，b1，求证：。k

7、k证明：令asin2kbsin2k左sinsincoscossinsincoscoscos()1∴ab(1a2)(1b2)110、x2y21，求证：2xy2xycossin2sin()[2,2]证：由x2y21设xcos，ysin∴4∴2xy211、已知a>b>c,求证：114.abbcac证明：∵a－b>0,b－c>0,a－c>0∴可设a－b=x,b－c=y(x,y>0)则a－c=x+y,原不等式转化为证明11411xy即证(xy

8、)()