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1、不等式的证明不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。注意的变式应用。常用(其中)来解决有关根式不等式的问题。1、比较法比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。1已知a,b,c均为正数，求证：证明：∵a,b均为正数，∴同理，三式相加，可得∴2、综合法综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明
2、的结论。2a、b、，，求证：证：∴3设、、是互不相等的正数，求证：证：∵∴∵同理：∴4知a,b,c，求证:证明：∵即，两边开平方得同理可得三式相加，得5且，证：。证：6已知策略:由于证明：。3、分析法分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。7已知、、为正数，求证：证：要证：只需证：即：∵成立∴原不等式成立8且，求证。证：即：∵即∴原命题成立4、换元法换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。9，，求证：。证明：令左∴
3、10：，求证：证：由设，∴∴11知a>b>c,求证：证明：∵a－b>0,b－c>0,a－c>0∴可设a－b=x,b－c=y(x,y>0)则a－c=x+y,原不等式转化为证明即证，即证∵∴原不等式成立（当仅x=y当“=”成立）12知1≤x＋y≤2，求证：≤x－xy＋y≤3．证明：∵1≤x＋y≤2，∴可设x=rcos，y=rsin，其中1≤r≤2，0≤＜．∴x－xy＋y=r－rsin=r(1－sin)，∵≤1－sin≤，∴r≤r(1－sin)≤r，而r≥，r≤3∴≤x－xy＋y≤3．13已知x－2xy＋y≤2，求证：
4、x＋y
5、≤
6、．证明：∵x－2xy＋y=(x－y)＋y，∴可设x－y=rcos，y=rsin，其中0≤r≤，0≤＜．∴
7、x＋y
8、=
9、x－y＋2y
10、=
11、rcos＋2rsin
12、=r
13、sin(＋ractan)
14、≤≤．14解不等式＞解：因为=6，故可令=sin，＝cos，∈［0，］则原不等式化为sin－cos＞所以sin＞+cos由∈［0，］知+cos＞0，将上式两边平方并整理，得48cos2+4cos－23＜0解得0≤cos＜所以x＝6cos2－1＜，且x≥－1，故原不等式的解集是｛x
15、-1≤x＜.15：－1≤－x≤．证明：∵1－x≥0，∴－1
16、≤x≤1，故可设x=cos，其中0≤≤．则－x=－cos=sin－cos=sin(－)，∵－≤－≤，∴－1≤sin(－)≤，即－1≤－x≤．增量代换法在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a＞b＞c)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简．16a，bR，且a＋b=1，求证：(a＋2)＋(b＋2)≥．证明：∵a，bR，且a＋b=1，∴设a=＋t，b=－t，(tR)则(a＋2)＋(b＋2)=(＋t＋2)＋(－t＋2)=(t＋)＋
17、(t－)=2t＋≥．∴(a＋2)＋(b＋2)≥．利用“1”的代换型17策略：做“1”的代换。证明：.5、反证法反证法的思路是“假设矛盾肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。18若p＞0，q＞0，p＋q=2，求证：p＋q≤2．证明：反证法假设p＋q＞2，则(p＋q)＞8，即p＋q＋3pq(p＋q)＞8，∵p＋q=2，∴pq(p＋q)＞2．故pq(p＋q)＞2=p＋q=(p＋q)(p－pq＋q)，又p＞0，q＞0p＋q＞0，∴pq＞p－pq＋q，即(p－q)＜0，矛盾．故假设p
18、＋q＞2不成立，∴p＋q≤2．19已知、、（0，1），求证：，，，不能均大于。证明：假设，，均大于∵，均为正∴同理∴∴不正确∴假设不成立∴原命题正确20已知a,b,c∈（0，1），求证：（1－a）b,（1－b）c,（1－c）a不能同时大于。证明：假设三式同时大于∵0＜a＜1∴1－a＞0∴21、、，，，，求证：、、均为正数。证明：反证法：假设、、不均为正数又∵、、两负一正不妨设，，又∵∴同乘以∴即，与已知矛盾∴假设不成立∴、、均为正数6、放缩法放缩时常用的方法有：1去或加上一些项2分子或分母放大（或缩小）3用函数单调性放缩4用
19、已知不等式放缩22已知a、b、c、d都是正数，求证：1＜＋＋＋＜2．证明：∵＜＜，＜＜，＜＜，＜＜，将上述四个同向不等式两边分别相加，得：1＜＋＋＋＜2．23，求证：。证明：∵∴ 判别式法24A、B、C为的内角，、、为任意实数，求证：。证明：构造函数，判别式法令为开口向上的抛物线无论、为何
