高考数学专题复习（精选精讲）练习6-不等式的证明方法习题精选精讲.pdf

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1、不等式的证明不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。2222abab注意ab2ab的变式应用。常用(其中a,bR)来解决有关根式不等式的问题。221、比较法比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。1111111已知a,b,c均为正数，求证：2a2b2cabbcca2111b(ab)

2、a(ab)4ab(ab)证明：∵a,b均为正数，∴04a4bab4ab(ab)4ab(ab)22111(bc)111(ca)同理0，04b4cbc4bc(bc)4c4aca4ac(ac)111111三式相加，可得02a2b2cabbcca111111∴2a2b2cabbcca2、综合法综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。2221abcc(0,)2a、b、，a

3、bc1，求证：32222a2b2c2ab2bc2ca222222222223(abc)1(abc)3(abc)(abc)(ab)(bc)(ca)0证：∴444abcabc(abc)3设a、b、c是互不相等的正数，求证：442244224422444222222证：∵ab2abbc2bcca2ca∴abcabbccaa2b2b2c22a2b2b2c22ab2c2222222222∵同理：bcca2bcacaab

4、2cab222222abbccaabc(abc)∴2222224知a,b,cR，求证:abbcca2(abc)2222222ab2ab2(ab)a2abb(ab)证明：∵222(ab)2222即ab，两边开平方得abab(ab)222222222同理可得bc(bc)ca(ca)三式相加，得22222222abbcca2(abc)11(1)(1)9x、y(0,)xy1xy5且，证：。11xyxyyxyx

5、(1)(1)(1)(1)(2)(2)52()证：xyxyxyxy52291116已知a,bR,ab1求证：11.ab9a,bR,ab1211策略:由于abab说明a,bR,ab1的背后隐含着一个不等式ab.ab44211111ab12而11111189.1abababababab证明：a,bR,ab1ab。4111

6、19.ab3、分析法分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。ababc32(ab)3(abc)7已知a、b、c为正数，求证：23ababc32(ab)3(abc)3证：要证：23只需证：2abc3abc3cabab33cabab33abc即：c2ab3abc∵成立∴原不等式成立8a、b、c(0,)且abc1，求证abc3。2证：abc3(abc)3即：2ab2bc

7、2ac2∵2abab2bcbc2acac即2ab2bc2ac(ab)(bc)(ac)2∴原命题成立4、换元法换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。22b1ab(1a)(1b)19，，求证：。kkbsin证明：令asin2k2k22sinsincoscossinsincoscoscos()1ab(1a)(1b)1左∴22xy1

8、2xy210：，求证：22xycossin2sin()[2,2]证：由xy1设xcos，ysin∴42xy2∴11411知a>b>c,求证：.abbcac114证明：∵a－b>0,b－c>0,a－c>0∴可设a－b=x,b－c=y(x,y>0)则a－c=x+y,原不等式转化为证明xyxy11xyxy即证(xy)()4，即证2