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《2019-2020年高考数学不等式的证明方法习题精选精讲.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2019-2020年高考数学不等式的证明方法习题精选精讲不等式的证明是高中数学的一个难点,证明方法多种多样,近几年高考出现较为形式较为活跃,证明中经常需与函数、数列的知识综合应用,灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提,下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。注意的变式应用。常用(其中)来解决有关根式不等式的问题。1、比较法比较法是证明不等式最基本的方法,有做差比较和作商比较两种基本途径。1已知a,b,c均为正数,求证:证明:∵a,b均为正数,∴同理,三式相加,可得∴2、综合法综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等,运用不等式的变换,从已知
2、条件推出所要证明的结论。2a、b、,,求证:证:∴3设、、是互不相等的正数,求证:证:∵∴∵同理:∴4知a,b,c,求证:证明:∵即,两边开平方得同理可得三式相加,得5且,证:。证:6已知策略:由于证明:。3、分析法分析法的思路是“执果索因”:从求证的不等式出发,探索使结论成立的充分条件,直至已成立的不等式。7已知、、为正数,求证:证:要证:只需证:即:∵成立∴原不等式成立8且,求证。证:即:∵即∴原命题成立4、换元法换元法实质上就是变量代换法,即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换,以达到化难为易的目的。9,,求证:。证明:令左∴10:,求证
3、:证:由设,∴∴11知a>b>c,求证:证明:∵a-b>0,b-c>0,a-c>0∴可设a-b=x,b-c=y(x,y>0)则a-c=x+y,原不等式转化为证明即证,即证∵∴原不等式成立(当仅x=y当“=”成立)12知1≤x+y≤2,求证:≤x-xy+y≤3.证明:∵1≤x+y≤2,∴可设x=rcos,y=rsin,其中1≤r≤2,0≤<.∴x-xy+y=r-rsin=r(1-sin),∵≤1-sin≤,∴r≤r(1-sin)≤r,而r≥,r≤3∴≤x-xy+y≤3.13已知x-2xy+y≤2,求证:
4、x+y
5、≤.证明:∵x-2xy+y=(x-y)+y
6、,∴可设x-y=rcos,y=rsin,其中0≤r≤,0≤<.∴
7、x+y
8、=
9、x-y+2y
10、=
11、rcos+2rsin
12、=r
13、sin(+ractan)
14、≤≤.14解不等式>解:因为=6,故可令=sin,=cos,∈[0,]则原不等式化为sin-cos>所以sin>+cos由∈[0,]知+cos>0,将上式两边平方并整理,得48cos2+4cos-23<0解得0≤cos<所以x=6cos2-1<,且x≥-1,故原不等式的解集是{x
15、-1≤x<.15:-1≤-x≤.证明:∵1-x≥0,∴-1≤x≤1,故可设x=cos,其中0≤≤.则-x=-cos=sin-c
16、os=sin(-),∵-≤-≤,∴-1≤sin(-)≤,即-1≤-x≤.增量代换法在对称式(任意互换两个字母,代数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c)的不等式,常用增量进行代换,代换的目的是减少变量的个数,使要证的结论更清晰,思路更直观,这样可以使问题化难为易,化繁为简.16a,bR,且a+b=1,求证:(a+2)+(b+2)≥.证明:∵a,bR,且a+b=1,∴设a=+t,b=-t,(tR)则(a+2)+(b+2)=(+t+2)+(-t+2)=(t+)+(t-)=2t+≥.∴(a+2)+(b+2)≥.利用“1”的代换型17策略:做“1”的代换。证明
17、:.5、反证法反证法的思路是“假设矛盾肯定”,采用反证法时,应从与结论相反的假设出发,推出矛盾的过程中,每一步推理必须是正确的。18若p>0,q>0,p+q=2,求证:p+q≤2.证明:反证法假设p+q>2,则(p+q)>8,即p+q+3pq(p+q)>8,∵p+q=2,∴pq(p+q)>2.故pq(p+q)>2=p+q=(p+q)(p-pq+q),又p>0,q>0p+q>0,∴pq>p-pq+q,即(p-q)<0,矛盾.故假设p+q>2不成立,∴p+q≤2.19已知、、(0,1),求证:,,,不能均大于。证明:假设,,均大于∵,均为正∴同理∴∴不正确
18、∴假设不成立∴原命题正确20已知a,b,c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于。证明:假设三式同时大于∵0<a<1∴1-a>0∴21、、,,,,求证:、、均为正数。证明:反证法:假设、、不均为正数又∵、、两负一正不妨设,,又∵∴同乘以∴即,与已知矛盾∴假设不成立∴、、均为正数6、放缩法放缩时常用的方法有:1去或加上一些项2分子或分母放大(或缩小)3用函数单调性放缩4用已知不等式放缩22已知a、b、c、d都是正数,求证:1<+++<2.证明:∵<<,<<,<<,<<,将上述四个同向不等式两边分别相加,得:1<+++<2
19、.23,求证:。证明:∵∴ 判别式法24A、B、C为的内角,、、为任意实数,求证:。证明:构造