同济版大一高数下第十二章第八节一般周期的课件.ppt

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1、高等数学第三十三讲1第八节一般周期的函数的傅里叶级数以2l为周期的函数的傅里叶展开第十二章2一、以2l为周期的函数的傅里叶展开周期为2l函数f(x)周期为2函数F(z)变量代换将F(z)作傅氏展开f(x)的傅氏展开式3设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为(在f(x)的连续点处)其中定理.4证明:设f(x)周期为2l的周期函数,则令则所以且它满足收敛定理条件,将它展成傅里叶级数:(在F(z)的连续点处)变成是以2为周期的周期函数,5其中令(在f(x)的连续点处)证毕6说明:其中(在f(x)的连续点处)如果

2、f(x)为偶函数,则有(在f(x)的连续点处)其中注:无论哪种情况,在f(x)的间断点x处,傅里叶级数收敛于如果f(x)为奇函数,则有7例1：设函数f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(－1，1]上的表达式为：将f(x)展开成傅立叶级数，并作出级数的和函数的图形.解：处间断f(x)在间断点处的傅立叶级数收敛于在连续点处收敛于f(x)，其傅立叶系数为：f(x)如图所示，它在8注：l=19例1：设函数f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(－1，1]上的表达式为：将f(x)展开成傅立叶级数，并作出级数的和函数的图形。10例2.把展开成(1)

3、正弦级数;(2)余弦级数.解:(1)将f(x)作奇周期延拓,则有在x=2k处级数收敛于何值?11(2)将作偶周期延拓,则有12例3期的傅立叶级数,并由此求级数(91考研)解:为偶函数,因f(x)偶延拓后在展开成以2为周的和.故得13得故由此求级数的和.14为正弦级数.内容小结1.周期为2l的函数的傅里叶级数展开公式(x间断点)其中当f(x)为奇函数时,(偶)(余弦)2.在任意有限区间上函数的傅里叶展开法变换延拓3.傅里叶级数的复数形式利用欧拉公式导出15思考与练习1.将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形?答:易看出奇偶性及间断

4、点,2.计算傅里叶系数时哪些系数要单独算?答:用系数公式计算如分母中出现因子n－k从而便于计算系数和写出收敛域.必须单独计算.16