同济版大一高数下第七章第八节常系数齐次线性微分方程课件.ppt

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1、常系数第七节齐次线性微分方程基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化第七章1二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入①得称②为微分方程①的特征方程,1.当时,②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为(r为待定常数),①所以令①的解为②则微分其根称为特征根.22.当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,则得因此原方程的通解为33.当时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:利用解的叠加原理,得原方程的线性无关

2、特解:因此原方程的通解为4小结:特征方程:实根特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.5若特征方程含k重复根若特征方程含k重实根r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程:推广:6例1.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解为例2.求解初值问题解:特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为7例3：求的通解解;特征方程为（共轭复根）由公式得方程通解由上面的讨论可知：求二阶常系数线性齐次方程的通解，并不需要进行积分运算，只要解代数方程求出特征方程的根，就可写出方程的通解。（这种求解的方法可以推广到

3、n阶常系数线性齐次方程上去。)8例4.解:特征方程:特征根为则方程通解:9例5.解:特征方程:特征根:原方程通解:(不难看出,原方程有特解10n阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程的根通解中的对应项11例6为特解的4阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解:根据给定的特解知特征方程有根:因此特征方程为即故所求方程为其通解为12例7：求由所满足的三阶常系数齐次方程。解：可得特征方程为：则三阶的齐次方程为13内容小结特征根:(1)当时,通解为(3)当时,通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.(2)当时,通解为14思考与练习求方程的通解.

4、答案:通解为通解为通解为15P3401(3),(6),(10);2(2),(3),(6);作业16