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《2015年高考数学(理科)真题分类汇编F单元 平面向量.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、数学F单元 平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算13.F1[2015·全国卷Ⅱ]设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=________.13. [解析]因为λa+b与a+2b平行,所以存在唯一实数t,使得λa+b=t(a+2b),所以解得λ=t=.7.F1[2015·全国卷Ⅰ]设D为△ABC所在平面内一点,=3,则( )A.=-+B.=-C.=+D.=-7.A [解析]由题意知=+=+=+(-)=-+.13.F1[2015·北京卷]在△ABC中,点M,N满足=,=.若=x+y,则x=________,y=________.13. - [解
2、析]在△ABC中,=-=(+)-=-.20.F1、H1、H5、H7、H8[2015·湖南卷]已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为2.(1)求C2的方程.(2)过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且与同向.(i)若
3、AC
4、=
5、BD
6、,求直线l的斜率;(ii)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.20.解:(1)由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1).因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1.①又C1与C2的公
7、共弦的长为2,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为±,,所以+=1.②联立①②,得a2=9,b2=8,故C2的方程为+=1.(2)如图所示,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).(i)因为与同向,且
8、AC
9、=
10、BD
11、,所以=,从而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.③设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1.由得x2-4kx-4=0,而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4
12、.④由得(9+8k2)x2+16kx-64=0.而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=-,x3x4=-.⑤将④⑤代入③,得16(k2+1)=+,即16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±,即直线l的斜率为±.(ii)证明:由x2=4y得y′=,所以C1在点A处的切线方程为y-y1=(x-x1),即y=-.令y=0,得x=,即M,0,所以=,-1.而=(x1,y1-1),于是·=-y1+1=+1>0,因此∠AFM是锐角,从而∠MFD=180°-∠AFM是钝角.故直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.7.F1、F3[2015·四川卷
13、]设四边形ABCD为平行四边形,
14、
15、=6,
16、
17、=4.若点M,N满足=3,=2,则·=( )A.20B.15C.9D.67.C [解析]易知=+,=-=-+,∴·=(4+3)·(-3+4)=(162-92)=×(16×36-9×16)=9.F2 平面向量基本定理及向量坐标运算6.F2[2015·江苏卷]已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为________.6.-3 [解析]因为ma+nb=(2m+n,m-2n)=(9,-8),所以解得故m-n=-3.8.F4、F2[2015·湖南卷]已知点A,B,C在圆
18、x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则
19、++
20、的最大值为( )A.6B.7C.8D.98.B [解析]方法一:因为A,B,C均在单位圆上,A,C为直径的端点,所以+=2=(-4,0),
21、++
22、=
23、2+
24、≤2
25、
26、+
27、
28、.又
29、
30、≤
31、
32、+1=3,所以
33、++
34、≤4+3=7,故选B.方法二:因为A,B,C均在单位圆上,A,C为直径的端点,所以可令A(cosx,sinx),B(cos(x+α),sin(x+α)),C(-cosx,-sinx),0<α<π,则++=(cos(x+α)-6,sin(x+α)),
35、++
36、==≤7.F3 平面向量的数量积及
37、应用8.F3[2015·安徽卷]△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是( )A.
38、b
39、=1B.a⊥bC.a·b=1D.(4a+b)⊥8.D [解析]由=2a,=2a+b,得a=,b=-2a=,因此
40、a
41、=
42、
43、=1,
44、b
45、=
46、
47、=2,且a与b的夹角为120°,故a·b=1×2×cos120°=-1,(4a+b)·b=4a·b+b2=-4+4=0,故A,B,C错,D正确.11.F3[2015·湖北卷]已知向量⊥,
48、
49、=3,则·=________.11.9 [解析]根据题意作出图形,如图所示.设向量,的夹角为θ,则·=
50、cosθ.
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