概率论与数理统计(二维随机变量函数的分布)课件.ppt

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1、3.5.1二维离散型随机变量函数的分布设(X,Y)为二维离散型随机变量，则函数是一维离散型随机变量．若已知(X,Y)的分布律，如何得到的分布律?3.5二维随机变量函数的分布第3章多维随机变量及其分布3.5.1二维离散型随机变量函数的分布【例3.20】设(X，Y)的分布律为试求：Z1=X，Z2=Y/X，Z3=min{X，Y}的分布律．解：将(X，Y)及各个函数的取值对应列于同一表中YX-10110.20.10.120.100.1300.30.110-110-11Z3=min{X，Y}1/30-1/31/20-1/210-1Z2=Y/X333222111Z1=

2、X(3,1)(3,0)(3,-1)(2,1)(2,0)(2,-1)(1,1)(1,0)(1,-1)(X，Y)0.10.300.100.10.10.10.2P-103.5.1二维离散型随机变量函数的分布P0.20.10.10.100.100.30.1(X，Y)(1,-1)(1,0)(1,1)(2,-1)(2,0)(2,1)(3,-1)(3,0)(3,1)Z1=X111222333Z2=Y/X-101-1/201/2-1/301/3Z3=min{X，Y}-101-101-101易得到下列随机变量的分布律(取相同值的概率给以合并)：Z1123pi0.40.20.

3、4Z2-1-1/2-1/301/31/21pj0.20.100.40.10.10.1Z3-101pk0.30.40.33.5.1二维离散型随机变量函数的分布,【例3.21】设,且X与Y独立，证明．证：取值为0，1，2，…，{Z=k}是互不相容事件的和,考虑到独立性，对任意非负整数k，有3.5.1二维离散型随机变量函数的分布,即证明了例3.21的结论说明，泊松分布具有可加性.设(X，Y)为二维连续型随机变量，其概率密度为f(x，y)，为X，Y的函数，它也是连续型随机变量．求Z的概率密度的一般按下面两步进行:(1)求Z的分布函数其中(2)FZ(z)对z求导数，

4、得Z的概率密度为3.5.2二维连续型随机变量函数的分布3.5.2二维连续型随机变量函数的分布【例3.22】（和的分布）设(X，Y)的概率密度为f(x，y)，求Z=X+Y的概率密度．解：事件X+YZ所占有的区域如图，对积分作变量变换x=u–y得：于是3.5.2二维连续型随机变量函数的分布对z求导数得由X，Y的对称性，又有:3.5.2二维连续型随机变量函数的分布设(X，Y)的概率密度为f(x，y)，Z=X+Y的概率密度．特别地，当X和Y独立时,X，Y的概率密度分别为和，则上述两式可分别写成和这两个公式称为卷积公式，记为:3.5.2二维连续型随机变量函数的分布

5、【例3.23】（正态分布的可加性）设X和Y都服从N(0,1)且相互独立，求Z=X+Y的概率密度．解：由卷积公式令，得即Z～N(0，2)．3.5.2二维连续型随机变量函数的分布一般地，设X，Y相互独立，且，，则更一般地，可以证明，有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍服从正态分布．即定理3.1（正态分布的重要性质）若X1，X2，…，Xn为相互独立的随机变量，且C1，C2，…，Cn为n个任意常数，则3.5.2二维连续型随机变量函数的分布【例3.24】设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为求：随机变量Z=X+Y的概率密度．解：因,欲使，即使，x与z

6、必须满足即将上述x与z的关系描绘在xOz平面上便是图中的阴影部分．3.5.2二维连续型随机变量函数的分布(1)时，由于，故(2)时，(3)时，综上所述，得到：3.5.2二维连续型随机变量函数的分布【例3.25】（最大值与最小值分布）设X1，X2，…，Xn是相互独立的n个随机变量,若，试在以下情况下求Y和Z的分布．(1)Xi～Fi(x)，i=1，2，…，n(2)Xi同分布，即Xi～F(x)，i=1，2，…，n(3)Xi为连续随机变量，且Xi同分布，即Xi的概率密度为f(x)，i=1，2，…，n．3.5.2二维连续型随机变量函数的分布解：(1)的分布函数为的分

7、布函数为3.5.2二维连续型随机变量函数的分布(2)将Xi共同的分布函数F(x)代入(1)的结果中，得(3)Y和Z的分布函数仍为上述两式，概率密度可由上述两式分别对y和z求导得到3.5.2二维连续型随机变量函数的分布【例3.26】设随机变量X与Y相互独立，且同服从(0，1)上的均匀分布，试求Z=

8、X–Y

9、的概率密度．解：因为所以Z的概率密度为答☺课堂思考所以【保险中的理赔总量模型解答】保险公司在一个会计年度保险单的理赔次数、每次的理赔额和全年理赔总量均为随机变量．某保险公司为了研究某类保险在一个会计年度的理赔总量，用Xi表示某类保险单的第i次理赔额，N表示

10、在一个会计年度所有这类保单发生理赔次数，Y表示这一年中对这类保单的