高等数学§3.3 Taylor公式课件.ppt

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1、几个初等函数的Maclaurin公式泰勒(Taylor)（英）1685-1731其它应用§3.3Taylor公式第三章微分中值定理与导数的应用Taylor公式的建立1多项式逼近泰勒公式2需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?问题(1)系数怎么定?(2)误差(如何估计)表达式是什么?不足1.精确度不高；2.误差不能定量的估计.希望一次多项式泰勒公式用适当的高次多项式nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010-++-+-+=L)(xf»3得假设同理代入中得nnnxxaxxaxxaa

2、xP)()()()(0202010-++-+-+=L泰勒公式4称为f(x)的Taylor多项式来逼近并估计它的误差.函数Taylor多项式.泰勒公式5泰勒(Taylor)中值定理其中余项2.泰勒(Taylor)中值定理多项式(residual),)1(),()()(0阶导数内有在若+Înbaxxf,),(时则当baxÎ次的一个可表为nxxxf)()(0-:)(之和与一个余项xRn泰勒公式6Lagrange型余项带有Lagrange型余项.次近似多项式n7Peano型余项当对余项要求不高时,带有Pea

3、no型余项可用Peano型余项1858-1932)皮亚诺(Peano,G.(意),),(时若baxÎMxfn<+

4、)(

5、)1(8注1.泰勒公式就是Lagrange中值公式.2.在泰勒公式中,这时的泰勒公式,即按x的幂(在零点)展开的Taylor公式称为:n阶Taylor公式麦克劳林(Maclaurin,C.(英)1698-1746)公式泰勒公式9麦克劳林(Maclaurin)公式近似公式误差估计式为带有Lagrange型余项带有Peano型余项泰勒公式10解代入上公式,得于是有的近似表达公式三、几个

6、初等函数的麦克劳林公式例麦克劳林公式.麦克劳林(Maclaurin)公式11解例因为所以泰勒公式12泰勒多项式逼近泰勒公式13类似地,有泰勒公式14常用函数的Maclaurin公式要熟记!泰勒公式15泰勒公式16解17例2解用间接展开的方法较简便.两端同乘x,得泰勒公式18下面这个例题是说明如何利用泰勒公式来求极限.例1求解因为19本题虽然可用洛必达法则来求,但上面的方法比所以较简单.20例2.计算21解22例5解23思考题利用泰勒公式求极限24思考题解答25