Taylor公式与科学计算ppt课件.ppt

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1、数学大观Taylor公式与科学计算Taylor公式与科学计算(1)Taylor公式微积分顶峰(2)计算机如何实现导数的计算(3)数值计算精度分析(4)计算机实现导数计算存在的问题(5)Taylor公式解决问题(6)李查逊外推（Richardson）(７)李查逊外推应用(８)思考题Taylor公式：微分学顶峰函数用常数（极限代替），误差是无穷小．函数用一次多项式逼近，产生的误差是高阶无穷小．应用举例１：用多项式逼近函数三角函数表哪里来？Ｔaylor公式应用举例１：用多项式逼近函数应用举例１：用多项式逼近函数应用

2、举例１：用多项式逼近函数应用举例２：罗必达法则发明罗必达法则求极限If分子分母是多项式:享受幸运!约分!Else,创造幸运:化成多项式(凌波微步)再约分!导数的数学定义与数值计算导数的数学定义计算机实现导数的计算计算机无法实现无限次计算解决问题办法是近似计算，有限次逼近无限次运算数值计算精度分析计算精度分析无穷小阶描述数学问题重要工具，不需要精确数学表达式，仅需要对整体有个估计h越小，近似计算的精度越高计算实例计算实例与存在的问题h逼近值逼近误差20.3360-0.01244710.3564-0.002847

3、0.20.35350.0000530.10.35300.0005530.020.3550-0.0014470.010.35000.0035530.0020.35000.0035530.0010.30000.0535530.00020.3000-0.146447注意到一个现象：(1)从表中看出h=0.2时候计算效果最佳(2)取得比h=0.2小时计算的效果越来越差实验结果与数学分析结论完全不一致！透过现象看本质！数值运算误差的初步分析定义：假设为整数，如果则称有n位有效数字。的近似值具有5位有效数字例1：结论：有

4、效数字是从第一位不等于0的数算起！数值运算误差的初步分析求两个实根，保留小数点后面８位．b没起作用，“大数吃小数”!数值运算误差的初步分析方法１和方法２哪个更精确？数值运算误差的初步分析两个相近的数相减有效数字会严重损失！寻求补救办法！Taylor公式解决问题Taylor公式解决问题看到解决问题希望Taylor公式解决问题将上述方法推广到一般情况数学归纳法，善于归纳一般结论Taylor公式与导数计算计算过程分析(6)(9)(3)(5)(8)(10)(1)(2)(4)(7)计算过程相当于半二次循环！Taylor

5、公式解决问题计算的一阶导数值，实验结果如下：0.0128696.6346914623.4601726625.3455055625.33342260.0064641.7538023625.2276722625.33361440.0032629.3592047635.32699020.0016626.3350438李查逊外推（Richardson）李查逊外推（Richardson）假设逼近有渐进展开的形式：善于提炼一般性问题，透过现象看本质外推法和割圆术设圆的内接正n边形面积为由Taylor展开从而外推法和割圆术

6、其截断误差为，令其截断误差为，令外推法和割圆术其截断误差为，最后得到Richardson外推公式外推法和割圆术表格比较了外推法和常规方法12896------------806448403224n215606374275345741605275423460160734816276n1可以看到对逼近精度为时，用Richardson外推方法仅需计算圆的内接80正边形面积，而用常规公式经需要内接7542边形，在逼近精度为时，Richardson外推法的优势更明显.外推法和割圆术外推法和割圆术外推法和割圆术外推法和割

7、圆术外推法和割圆术Richardson外推法计算圆周率快速的提高了计算精度，尤其在高精度逼近时其收敛速度是常规方法无法比拟的。进一步思考(1)有效控制舍入误差是科学计算面临一个重要的研究课题（复杂计算过程中舍入误差的传播）(2)Taylor在科学计算中是构造高精度计算方法的重要工具（数值积分外推，有限元外推计算等）作业(１)设计计算圆周率的外推公式并实现(２)设计二阶导数计算的外推公式并实现数学实验:多项式逼近sin(x)8/3/2021科学计算研究的意义科学计算的兴起是20世纪后半叶最重要的科技进步之一。计

8、算与理论及实验相并列，已经成为当今世界科学活动的第三种手段。科学计算正在向大规模和高性能发展，要达到“全物理、全系统、三维、高分辨、高逼真”的数值模拟，研究高效的计算方法至关重要。大规模计算提出的世界性难题已形成科学计算的学科前沿。求解由实际问题得到的复杂的偏微分方程不仅计算规模大，更由于非线性、多尺度、长时间、不适定、多区域、高病态等特点使计算格外困难。本讲将通过导数的数值计算，详细阐述Taylo