多元函数的Taylor公式与极值问题ppt课件.ppt

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1、高等数学BⅡ吉林大学数学学院第二章多元函数的微分学及其应用偏导数全微分复合函数的微分法隐函数微分法方向导数与梯度多元微分学的几何应用多元函数的Taylor公式与极值问题§8多元函数的Taylor公式与极值问题8.1多元函数的Taylor公式8.2多元函数的极值问题8.3条件极值问题8.1多元函数的Taylor公式一元函数的泰勒公式:推广多元函数泰勒公式记号(设下面涉及的偏导数连续):一般地,表示表示定理8.1的某一邻域内有直到n+1阶连续偏导数,为此邻域内任一点,则有其中①②①称为f在点(x0,y0)的n阶泰勒公式,②称为其拉格

2、朗日型余项.证:令则利用多元复合函数求导法则可得:一般地,由的麦克劳林公式,得将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.定理8.2的某一邻域内是类函数,则当其中称为Peano余项,上式称为f(x,y)在(x0,y0)处带有Peano余项的n阶Taylor公式.时，有说明:余项估计式.因f的各n+1阶偏导数连续,在某闭邻域其绝对值必有上界M,则有说明：(1)当n=0时,得二元函数的拉格朗日中值公式:(2)若函数在区域D上的两个一阶偏导数恒为零,由中值公式可知在该区域上定理8.1’设n元函数则其中使而上式称为f(x)在x0处带有Lag

3、range余项的n阶Taylor公式.特别地，当x0=0时，又称为Maclaurin公式.定理8.2’设n元函数则当时，有上式称为f(x)在x0处带有Peano余项的n阶Taylor公式.特别地，当x0=0时，又称为Maclaurin公式.例8.1求函数解:对k=1,2,…,n+1有带有Lagrange余项的Maclaurin公式.所以由公式有其中定义8.1设n元函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，若则称函数在该点取得极大值(极小值).例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统

4、称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.8.2多元函数的极值问题1.极值恒有定理8.3(函数取极值的必要条件)设n元函数f(x)在点x0可偏导,证:以二元函数情况加以证明.的必要条件，有且在该点取得极值,则有即设二元函数f(x,y)在点(x0,y0)可偏导并取得极值，则固定y=y0时，一元函数在点x0可导，并取得极值.据一元函数极值同理，有说明:使偏导数都为0的点称为驻点(或稳定点).例如,但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.由定理8.3知，对可偏导的n元函数，极值点必为驻点.偏导数不存在的点也可能是极值点

5、.例如,在点(0,0)取得极值，但它的两个偏导数在点(0,0)处不存在.通常把使得函数可能取极值的点称为它的可能极值点.显然，可能极值点未必一定是极值点.推论8.1(函数取极值的充分条件)设二元函数(x0,y0)是f(x,y)的驻点，记则(1)当A>0,且时，f(x0,y0)是极小值；(2)当A<0,且时，f(x0,y0)是极大值；(3)当时，f(x0,y0)为不是极值；(4)当时，不能确定f(x0,y0)是否为极值.设(x0,y0)是二元函数f(x,y)的驻点．由泰勒公式，在点P0(x0,y0,f(x0,y0))附近，曲面z=

6、f(x,y)可以由二次曲面近似替代．开口向上的椭圆抛物面，f(x0,y0)是g(x,y)及f(x,y)的极小值；开口向下的椭圆抛物面，f(x0,y0)是g(x,y)及f(x,y)的极大值；(1)当A>0,且时，z=g(x,y)为顶点在P0，(2)当A<0,且时，z=g(x,y)为顶点在P0，(3)当时，z=g(x,y)为双曲抛物面，f(x0,y0)不是极值．几何解释：例8.2求函数解:第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数在点(

7、3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值求最值的方法：依据2．最大值和最小值(1)先求出f(x)在闭区域内的可能极值点的函数值；(2)再求出f(x)在闭区域边界上的最大，最小值；(3)将这些函数值相比较，其中最大的就是f(x)在闭区域上的最大值，最小的就是f(x)在闭区域上的最小值．在实际问题中，区域不一定是闭区域，但是根据问题的性质可以知道最大(小)值的存在性，并且可以判定最大(小)值在区域的内部取得，那么当内部有唯一的可能极值点时，此点就是最大(小

8、)值点．例8.3设D是由x轴，y轴及直线x+y=6围城的三角形区域，求函数在D上的最大值和最小值．yx66oL2L3L1解：１．在D内部求可能极值点．得在D内唯一的驻点(2,1),f(2,1)=4.2．考虑D边界上取值情况．如图边界由三条线段组成．在L1:y=0