多元函数的极值与最优化问题课件.ppt

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1、第十一章第八节一、多元函数的无条件极值二、多元函数的最值三、多元函数的条件极值、拉格朗日乘数法多元函数的极值与最优化问题一、多元函数的无条件极值1.极值定义若函数极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点的某邻域则称函数在点取得极大值内有定义且满足称为极值点.推广：n元函数f(P),(极小值)定义11.10(1)(2)(3)例2例3例12.多元函数取得极值的条件定理11.10(必要条件)设函数且在该点取得极值，则有具有偏导数，注.1º2º仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点.驻点可导函数的极值点yxzo问题：如何判定一个驻点是否为极值点

2、？定理11.11(充分条件)若函数某邻域内具有二阶连续偏导数,且记则A<0时是极大值;A>0时是极小值.2)当3)当时,不能确定,需另行讨论.时,不是极值.即有例4例5-1求函数解第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步解方程组的极值.求A、B、C的值，并列表判别1206极小，72-5解例5即驻点为)1,1(-P,函数在P有极值.故二、多元函数的最值函数f在有界闭区域D上连续函数f在该区域D上一定取得最值依据假设:目标函数可微且只有有限个驻点.(这实际上是条件极值问题，边界方程即为条件方程)D是有界闭区域，求最值的一般方法：例

3、6有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来解设折起来的边长为xcm,则断面面积x24做成一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,使断面面积最大.为问怎样折法才能令解得由题意知,最大值在定义域D内达到,而在域D内只有一个驻点,故此点即为所求.解如图,xyzo例7实例小王有2000元钱，他决定用来购买两种急需物品：CD和U盘，设他购买x张CD，y个U盘达到最佳效果，效果函数为：三、条件极值、拉格朗日乘数法设每张CD28元，每个U盘80元，问他如何分配这2000元以达到最佳效果．一般地，所谓条件极值，就是求在附加条件：问题的实质：求求条件极值的方法主要有两种：的无条件极值.2

4、.拉格朗日乘数法1.将条件极值转化为无条件极值下的可能极值点.1构造函数),(),(),(yxyxfyxF+=解出x,y,2º解方程组3º判断，得极值可疑点：拉格朗日函数(1)拉格朗日乘数步骤：注拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情形：1构造拉格朗日函数如：目标函数得极值可疑点：3º判断.2º解方程组例8解设长方体位于第一卦限内的一个顶点的坐标为(x,y,z),则长方体的长，宽，高分别为2x,故长方体的体积2y,h-z.目标函数由实际问题存在最大值,及可疑的极值点唯一,有这种解法具有一般性例9解目标函数约束条件注意常用解题技巧注意常用解题技巧例10着点

5、A(1,1,1)到点B(2,0,1)的方向导数具有最大值.解目标函数：条件：xzoy解方程组：(1)(2)(3)(4)由(1)y–(2)x,得由(3)，得代入(4)，得极值可疑点：>内容小结1.如何求函数的无条件极值第一步利用必要条件在定义域内找驻点.解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.如何求函数的条件极值(1)简单问题用代入法转化为无条件极值问题求解如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法求解先作拉格朗日函数例如求二元函数下的极值,然后解方程组第二步作拉格朗日函数，求驻点并判别•比较驻点及边界点上函数值的大小(闭区域)•根据问题的实际意义确定

6、最值(实际问题)第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值应用问题在条件求出驻点.已知平面上两定点A(1,3),B(4,2),试在椭圆周上求一点C,使△ABC面积S△最大.解答提示:设C点坐标为(x,y),思考与练习则作拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知,点C与E重合时,三角形面积最大.点击图中任意点动画开始或暂停例5-2解1º求驻点①②①–②：①②当a=0时，有唯一驻点：(0,0)当a0时，代入①，2º判断(1)当a0时，驻点备用题例4-1讨论函数及是否取得极值.解显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0

7、)不是极值.因此为极小值.正负0在(0,0)点并且在(0,0)都有可能为①②(2)当a=0时，在唯一驻点(0,0)处，充分判别法失效！xyo+当a=0时，-解例6根据问题的性质知设(x,y)为该三角形内所求点一定在x=0,y=0,x+2y-16=0三直线所围三角形的内部.则它到三直线的距离平方和为:任一点,目标函数x+2y-16=0(x,y)而驻点唯一,由问题性质知存在最小值,例6-1解其次考虑f(x,y)在D的边界上的取值情况.比较上述各点的函数值可知,函数的最大值是函数的最小值是例6-2解设水箱长,宽分别为x,ym,则高为水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用