多元函数的极值与最优化问题.ppt

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1、第八章第九节一、多元函数的无条件极值二、多元函数的最值多元函数的极值与最优化问题三、多元函数的条件极值——拉格朗日乘数法一、多元函数的无条件极值1.极值定义若函数极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点的某则称函数在点取得极大值邻域内有定义且满足称为极值点.推广：n元函数f(P),(极小值)定义8.10(1)(2)(3)例2例3例1证即2.多元函数取得极值的条件定理8.10(必要条件)设函数且在该点取得极值，则有具有偏导数，注1º2º仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点.驻点可导函数的极值点事实上，yx

2、zo问题：如何判定一个驻点是否为极值点？定理8.11(充分条件)若函数某邻域内具有二阶连续偏导数,且记则A<0时是极大值;A>0时是极小值.2)当3)当时,不能判定,需另行讨论.时,不是极值.即有例4例5解1º求驻点①②①②当a=0时，有唯一驻点：(0,0)当a0时，代入①，①–②：2º判断(1)当a0时，驻点(2)当a=0时，在唯一驻点(0,0)处，充分判别法失效！xyo+当a=0时，-二、多元函数的最值函数f在有界闭区域D上连续函数f在该区域D上一定取得最值假设:目标函数可微且只有有限个驻点.(这实际上是条件极值问题，边界方程

3、即为条件方程)情形1D是有界闭区域，求最值的一般方法：情形2在D内有唯一的驻点，则认为该驻点即为f(x,y)解例6设(x,y)为该三角形内任一点,所求点一定在x=0,y=0,x+2y-16=0三直线所围三角形的内部.则它到三直线的距离平方和为:目标函数(x,y)x+2y-16=0而驻点唯一,由问题性质知存在最小值,例7求函数f(x,y)=x2+2y2-x2y2在区域上的最大值和最小值.解(方法1)xyO1先求f(x,y)在D内的驻点-22xyOL1L2在L1上,f(x,y)的最大值为g(±2)=f(±2,0)=4，最小值为g(0)=

4、f(0,0)=0.2再求f(x,y)在D边界上的最值-22xyOL1L2-22在L2上,f(x,y)的最大值为8，最小值为综上,f(x,y)在D上的最大值为8，最小值为0.实例小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买x张磁盘，y盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为：三、条件极值、拉格朗日乘数法设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．一般地，所谓条件极值，就是求在附加条件：问题的实质：求求条件极值的方法主要有两种：的无条件极值.2.拉格朗日乘数法1.将条件极值转化为无条件

5、极值下的极值可疑点.1构造函数),(),(),(yxyxfyxF+=解出x0,y0,2º解方程组3º判断，得极值可疑点：拉格朗日函数(1)拉格朗日乘子步骤：原理：设这正是(1)式.条件极值的必要条件注拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情形：1构造拉格朗日函数2º解方程组如：目标函数得极值可疑点：3º判断.例7求函数f(x,y)=x2+2y2-x2y2在区域上的最大值和最小值.解(方法2)在D内与边界L1上同方法1.xyOL1L2-22解得极值可疑点：综上,f(x,y)在D上的最大值为8，最小值为0.例8解设长方体位于第一

6、卦限内的一个顶点的坐标为(x,y,z),则长方体的长，宽，高分别为2x,故长方体的体积2y,h-z.(x,y,z)h目标函数由实际问题存在最大值,及可疑的极值点唯一,有这种解法具有一般性例9解目标函数约束条件注注意常用解题技巧例10A(1,1,1)到点B(2,0,1)的方向导数具有最大值.解着点目标函数：条件：xzoy解方程组：(1)(2)(3)(4)由(1)y–(2)x,得由(3)，得代入(4)，得极值可疑点：>内容小结1.如何求函数的无条件极值第一步利用必要条件在定义域内找驻点.解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.

7、2.如何求函数的条件极值(1)简单问题用代入法转化为无条件极值问题求解如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法求解先作拉格朗日函数例如求二元函数下的极值,然后解方程组第二步作拉格朗日函数，求驻点并判别•比较驻点及边界点上函数值的大小(闭区域)•根据问题的实际意义确定最值(实际问题)第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值应用问题在条件求出驻点.思考题1.答：不一定.问：已知平面上两定点A(1,3),B(4,2),试在椭圆周上求一点C,使△ABC面积S△最大.解设C点坐标为(x,y),2.则作拉格朗日函数解方程组得驻点

8、对应面积而比较可知,点C与E重合时,三角形面积最大.点击图中任意点动画开始或暂停备用题例4-1讨论函数及是否取得极值.解显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正