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1、§4Taylor公式和极值问题(一)教学目的：掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，掌握二元函数的极值的必要条件与充分条件．(二)教学内容：二元函数的高阶偏导数；中值定理与泰勒公式；二元函数的极值的必要条件与充分条件．基本要求：(1)掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，能够根据二元函数的极值的必要条件与充分条件寻找二元函数的极值与最大(小)值．(2)较高要求：掌握混合偏导数与求导次序无关的定理的证明以及二元函数的极值的必要条件充分条件定理的证明．(三)教学建议：(1)布置适量的求二元函数的高阶偏导数和求二元函数的极值与最值的习题．(2)讨论混合偏导和与求导次
2、序无关的多种定理证明的习题有一定的难度，只对较好学生布置有关习题．————————————————————一．高阶偏导数:1.高阶偏导数的定义、记法：例9求二阶偏导数和.例10.求二阶偏导数.上面两个例子中，关于的不同顺序的两个二阶偏导数都相等，，但是这个结论并不对任何函数都成立，例如由此可知，关于的不同顺序的两个二阶混合偏导数与求次序有关。那么在什么条件下两个二阶混合偏导数与求次序无关呢？定理17。7若都在连续，则约定：今后除特别指出外，都假定相应的混合偏导数连续。例11.求和.验证或化简偏微分方程:例12.证明+.(Laplace方程)例13将方程变为极坐标形式.
3、解.,,,.,;因此,.方程化简为.例5试确定和,利用线性变换将方程化为.解,.=+++==+2+.=+++==++.=++.因此,+(+.令,或或……,此时方程化简为.二中值定理和泰勒公式.定理17.8设二元函数在凸区域D上连续,在D的所有内点处可微.则对D内任意两点D,存在,使.证令，则是定义在上的一元函数，满足一元函数中值定理，…对于闭凸区域上的情况:见p.134注意.推论若函数在区域D上存在偏导数,且,则是D上的常值函数.Taylor公式:定理17.9(Taylor公式)若函数在点的某邻域内有直到阶连续偏导数,则对内任一点,存在相应的,使例4求函数在点的Tay
4、lor公式(到二阶为止).并用它计算三.极值问题:1极值的必要条件先看两个二元函数的图像一个是椭圆抛物面的图像另一个是半球的图像x=-1:1/100:1;y=x;[x,y]=meshgrid(x,y);z1=2*x.^2+y.^2;z2=(1-x.^2-y.^2).^(1/2);z3=real(z2);subplot(1,2,1),mesh(x,y,z1),holdonsubplot(1,2,2),mesh(x,y,z3)椭圆抛物面在原点取得极小值，半球面在原点取得最大值.可以看出，在极值点处两个一阶偏导都为零，另外从二元函数极值的定义也不难看出,若函数在点取得极值,
5、则一元函数也必分别在处取得极值，从而,在极值点处如果偏导存在,两个一阶偏导必为零.定理17.10(极值必要条件)若函数在点存在偏导数,且在点取得极值,则必有我们也称为稳定点.和一元函数极值一样(1)这个定理只是极值存在的必要条件,不是充分条件,即稳定点不一定都是极值点;(2)偏导数不存在的点也可能是极值点例1函数在原点两个偏导但原点既不是的极大点也不是极小点clf,x=-1:1/20:1;y=x;[x,y]=meshgrid(x,y);z=x.^2-y.^2+1;mesh(x,y,z)2极值的充分条件:代数准备:给出二元(实)二次型.其矩阵为.1）是正定的顺序主子式全
6、,是半正定的,顺序主子式全;2）是负定的,,其中为阶顺序主子式.是半负定的,.3）<0时,是不定的.充分条件的讨论:设函数在点某邻域有二阶连续偏导数.由Taylor公式,有++.令,,,则当为驻点时,有.其中.可见式的符号由二次型完全决定.称该二次型的矩阵为函数的Hesse矩阵.于是由上述代数准备,有i),为(严格)极小值点;ii),为(严格)极大值点;iii)时,不是极值点;iv)时,可能是极值点,也可能不是极值点.综上,有以下定理.定理17.11设函数在点的某邻域内有连续的二阶偏导数,是驻点.则i)时,为极小值点;ii)时,为极大值点;iii)时,不是极值点;iv
7、)时,可能是极值点,也可能不是极值点.例2求函数的极值。f='y^3-x^2+6*x-12*y+5';dfdy=diff(f,'y')dfdx=diff(f,'x')dfdy=3*y^2-12，dfdx=-2*x+6sy='3*y^2-12';sx='-2*x+6';[z1,z2]=solve(s1,s2)z1=3,3;z2=2,-2稳定点有两个（3，2）和（3,-2）diff(sx),diff(sx,'y'),diff(sy)ans=-2;0;6*y对于稳定点所以不是极值点。对于稳定点，且所以是函数的极大点。例3讨论是否存在极值点。例4讨论在原点是
