泰勒(Taylor)公式

《泰勒(Taylor)公式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第六节泰勒(Taylor)公式一、问题的提出三、几种常用的Maclaurin公式四、简单的应用五、作业练习二、Taylor公式一、问题的提出1、关于多项式由于它本身的运算仅是多项式是最简单的一类初等函数.所以在数值计算方面，多项式是人们乐于使用的工具.有限项加减法和乘法，因此我们经常用多项式来近似表达函数.初等数学已经了解到一些函数如:2、近似计算的一些重要性质，但是初等数学不曾回答怎样来计算它们？些结果提供了近似计算这些函数的有力方法.以的近似计算为例.高等数学微分学中所研究出来一线性逼近优点:形式简单，计算方便；一次(线性)逼近利用微分近似计算公式的线性逼近为:

2、不足：离原点0越远，近似度越差.，对附近的,1y=1yx-1二次逼近期望：二次多项式逼近它要比线性逼近好得多，但局限于内.二次逼近为,可以看出，y=1yx1-1八次逼近八次多项式逼近y=1yx1-1比在更大的范围内更接近余弦函数.想法：对于精确度要求较高时候可以用高次多项式来近似表达函数.问：要找的多项式应满足什么条件？从几何上看，代表两条曲线，要使它们在x0附近与很靠近，很明显①首先要求两曲线在相交,②要靠得更近还要求两曲线在相切,③要靠得更近还要求两曲线在弯曲方向相同,因为弯曲程度要用切线的变化率--------二阶导数来刻画.进而可推想：若在附近有近似程度越

3、来越好所以要找的多项式应满足下列条件问题归结为：给定一个函数f(x)，要找一个在指定点x0附近与f(x)很近似的多项式函数Pn(x)，记为使得且误差可估计。为了在性质上吻合的更好，我们要求:下面来求多项式Pn(x)的表达式(即系数ai)和误差表达式.泰勒(Taylor)多项式故定理（Taylor中值定理）：Pn(x)思路：证毕!在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为上式称为具有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式.(5)在公式中，从而泰勒公式变成如下形式，称为带有拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式三、几个常用的Maclaurin公式例1、四、应用1、近似计算例2、例3、求极

4、限。2、求极限已知解:令x=1,得由于欲使由计算可知当n=9时上式成立,因此的麦克劳林公式为例2、解因为分式函数的分母是sinx2，我们只需将分子中的cosx与ln(1+x)分别用二阶的麦克劳林公式表示：和仍记为，就得：对上式作运算时把所有比高阶的无穷小的代数故解作业习题2-7：2（2）、3（2）、6思考题利用泰勒公式求极限思考题解答42246420246泰勒多项式逼近42246420246泰勒多项式逼近练习题