yyf33泰勒Taylor级数展开

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1、§3.3泰勒（Taylor）级数展开通过对幂级数的学习，我们已经知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解析函数.现在我们来研究与此相反的问题，就是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？这个问题不但有理论意义，而且很有实用价值.实变函数可展为泰勒级数的条件是存在任意阶导数；而解析函数的性质之一正是存在任意阶导数，因此解析函数可展为复变项的泰勒级数。1设在以z0为圆心的圆域CR内解析，则对于圆内任意z点，可展开为幂级数一、定理（泰勒定理）：为圆内包含z且与同心的圆。其中z0zCRRCR1R12证明：由柯西公式将展为幂级数又

2、z0zCRRCR1R13代入上式逐项积分的每一项都是z的解析函数，且在其收敛圆内任一同心闭圆上一致收敛。4讨论：1、收敛范围：对给定z0点，找f(z)最靠近z0的奇点z1，一般即为收敛半径。2、解析函数的又一充要条件：f(z)在区域B内解析，当且仅当f(z)在B内任一点的某邻域内可展开成幂级数。3、展开系数的唯一性。5二、将函数展开成泰勒级数的方法6初等函数幂级数展开式举例：例1：在z=0处解：在复平面上解析（整函数）7例2：cosz，sinz在z=0处解：利用的展开式，可得奇次幂全消去8同理91011，在z0=1处例3：解：是

3、多值函数，如理解为定义在黎曼面上，则可看成单值解析函数。支点为：12而支点1314例4：arctgz，在z0=0点解：15例5：函数在z0=0展开将两式按对角线相乘，得解：在内解析，16例6：1718§3.4解析延拓以几何级数为例：对于，在的圆域b内,等效于解析函数，在的区域，发散，除外，全平面解析（解析区域B)与在b上等同，但B含有b。19解析延拓已知在b上解析的函数，可找到另一函数，使的解析区域B含有b，并且在b上等同于，此即为解析延拓，它扩大了解析函数的定义域。定义：解析延拓的唯一性：(用不同方法延拓结果一样）Bb.12在

4、b上解析，设用两种方法延拓到B上，得函数，可证明，与必完全等同。所以，可尽量用简单、特殊的方法进行延拓。20