泰勒(taylor)级数

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1、§4.3泰勒（Taylor）级数教学目的：1．理解并掌握泰勒定理；2．熟记基本初等函数的幂级数展式，并能灵活运用间接法求解析函数在指定点处的幂级数展式．教学方法：启发式讲授与指导练习相结合教学过程：幂级数是最简单的一种解析函数项级数,它有许多好的性质,因而可以作为研究解析函数的一种有效的具体工具.首先,我们来考察幂级数的敛散性情况.由幂级数和函数的性质知,幂级数的和函数在其收敛圆内表示一个解析函数.反之,圆域内的解析函数是否能成为适当幂级数的和函数呢?请看下面的定理回答.§4.3.1泰勒定理【定理4.6】(泰勒定理)若函数在区域内

2、解析,为内一点,为到的边界上各点的最短距离,则当时,在K内能展成幂级数,其中系数为(系数的积分形式)(系数的微分形式)(,,,,,)并且展式是惟一的.分析：此定理的证明是第三章柯西积分公式的一个重要应用.首先用柯西积分公式将函数在K内任意一点的值表示为复积分，即对,其中圆周15(),z含于的内部（如图4.8）.然后设法将被积函数表示成含有的非负幂次的级数.最后再考虑对此级数沿圆周逐项积分来达到目的.证:设z为K内任意取定的一点,总存在圆周(),使得z含于的内部（如图4.8）.由柯西积分公式得下面将表示成含有的非负次幂的级数.由于当

3、时,,所以从而15其中下证.由于在在区域内解析,从而在上连续，即，在上有，又由于，于是有因为，所以在内成立.所以再注意到解析函数的高阶导数公式,从而在K内有.15注:10.定理中等式称为函数在点的泰勒展式或幂级数展式；其系数称为泰勒系数，而等式右边的幂级数称为泰勒级数.20.注意：如果在区域D内有奇点，则使在的泰勒展式成立的为与距最近的一个奇点间的距离.30.展式的惟一性：由于惟一,所以展式是惟一的.重要结论：函数在一点解析的充要条件是：函数在该点的邻域内可以展开为幂级数（泰勒级数）.解析函数的本质特点.【定理】※函数在区域D内解

4、析的充分必要条件是在D内任意一点a的邻域内可展成的幂级数,即泰勒级数.(如图4.9)40.由泰勒定理还可得到幂级数和函数在其收敛圆周上的解析状况:【定理】※若幂级数的收敛半径为,则其和函数15在其收敛圆周上至少有一个不解析点(称为奇点).由此可得幂级数展式成立的最大范围为圆域,§4.3.2初等解析函数的基本展式根据泰勒定理我们可以求一些初等解析函数的幂级数展式.通常求幂级数展式有两种方法:一是直接利用泰勒定理,通过计算泰勒系数求展式(称为直接法),此方法一般用来导出一些可作为公式用的基本展式；二是利用已知基本展式借助幂级数的性质来

5、求(称为间接法),此方法也是求展式的常用方法.1.直接法与基本展式利用直接法,我们可以得到下面的基本展式:例1将在处展开为泰勒级数.解：由于且，则所以,其中®注愇到类似方法可得(215,,注意：利琨借助于的展开式也可间接导出上述公式.(3)多值函数的支点为和,记它的主值支为,其中定义域为复平面除去从到的负实轴的区域,则的所有单值解析分支为,(,,,),,(,,,).在上面两式中将换成得15,(4)一般幂函数当不为整数时,也是以和为支点的多值函数,记它的主值支,仍记为,其中为的主值支,定义域仍为复平面除去从到的负实轴的区域,则,.(

6、5)在(4)中,当时,,在上式中,将换成得,,.说明：在考虑函数幂级数展式的系数之间的关系时，我们常常可借助定理1中的泰勒系数的公式（即采用直接法），另外还要注意泰勒系数的公式的两种形式（积分形式和微分形式）.2.展式的求法(间接法)举例例2求下列函数在规定范围内的泰勒展开式(1)在处；（2）在的邻域内；15（3）在的邻域内；（4）将展成的幂级数；（5）在处；（6）*展开为的幂级数.解(1)因为在全平面除外解析,所以在内展开为幂级数,为的收敛圆域.且有展开式,.(2)因为在全平面除外解析,所以在内展开为幂级数,且时.由上问结论知为

7、的收敛圆域.且有展开式,.(3)因为要求且在全平面除外解析,所以的收敛半径为,在内展开为幂级数,为的收敛圆域.且有展开式15,.(4)因为在全平面除外解析,所以所以的收敛半径为,在内展开为幂级数,为的收敛圆域.且有展开式，.【15,.】(5)因为在从-1向左沿负实轴剪开的平面内解析,而-1是它的一个奇点,所以的收敛半径为,在内展开为幂级数,为的收敛圆域.又,.在收敛圆内任取一条从0到的积分路径,将上式两端沿积分得，.(6)因为在全平面除外解析,所以的收敛半径为,在内展开为幂级数,为的收敛圆域.由求导得,即.将此微分方程逐次求导得1

8、5，，………………由于,由上述微分方程可求得从而有，.例3按要求将下列函数展开为幂级数.(1)分别展开为和的幂级数；解,.,.(2)在展开为幂级数.解15，.(3)展开为的幂级数；解,.,.(4)在的邻域内.解15，.(5)在展开为幂级数.解.(6