[理学]taylor泰勒

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1、二、几个初等函数的麦克劳林公式一、泰勒公式的建立机动目录上页下页返回结束三、泰勒公式的应用—应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算4.3泰勒(Taylor)公式特点:一、泰勒公式的建立以直代曲在微分应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?x的一次多项式机动目录上页下页返回结束1.求n次近似多项式要求:故机动目录上页下页返回结束令则2.余项估计令(称为余项),则有机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束公式①称为的n阶泰勒公式.公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项.定理4.2.3.泰勒中值定理:阶的导数,时,有①其中

2、②则当泰勒目录上页下页返回结束公式③称为n阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项.在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为注意到③④*可以证明:④式成立机动目录上页下页返回结束特例:(1)当n=0时,泰勒公式变为(2)当n=1时,泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理可见误差机动目录上页下页返回结束称为麦克劳林（Maclaurin）公式.则有在泰勒公式中若取则有误差估计式若在公式成立的区间上麦克劳林目录上页下页返回结束由此得近似公式二、几个初等函数的麦克劳林公式其中机动目录上页下页返回结束其中机动目录上页下页返回结束类似可得其中机动目录上页下页返回结束

3、其中机动目录上页下页返回结束已知其中类似可得机动目录上页下页返回结束42246420246泰勒多项式逼近机动目录上页下页返回结束42246420246泰勒多项式逼近机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束4.4函数的单调性与极值4.1.1函数单调性的判定法若定理4.1.1.设函数则在I内单调递增(递减).证:妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明在I内单调递增.在开区间I内可导,机动目录上页下页返回结束证毕例4.1.1.确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为机动目录上页下页返回结束说明:单调区间的分界点除驻点外,也可是导

4、数不存在的点.例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,机动目录上页下页返回结束例4.4.2.证明时,成立不等式证:令从而因此且证证明目录上页下页返回结束*证明令则从而即4.2.2函数的极值定义4.4.1在其中当时,(1)则称为的极大点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小点,称为函数的极小值.极大点与极小点统称为极值点.机动目录上页下页返回结束注意:为极大点为极小点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.例如为极大点,是极大值是极小值为极小点,机动目录上页下页返回结

5、束定理4.4.1(极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,(自证)机动目录上页下页返回结束点击图中任意处动画播放暂停例4.4.3求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为机动目录上页下页返回结束定理4.4.2(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.机动目录上页下页返回结束例4.4.4求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.机动目录

6、上页下页返回结束定义4.5.1.设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点.图形是凸的.4.5函数曲线的凸性与拐点机动目录上页下页返回结束定理4.5.1.(1)在I内则在I内图形是凹的;(2)在I内则在I内图形是凸的.证:利用一阶泰勒公式可得两式相加说明(1)成立;(2)机动目录上页下页返回结束设函数在区间I上可,导证毕定理2.(凹凸判定法)(1)在I内则在I内图形是凹的;(2)在I内则在I内图形是凸的.证:利用一阶泰勒公式可得两式相加说明(1)成立;(2)机动目录上页下页返回结束设函数

7、在区间I上有二阶导数证毕例4.5.1.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是向上凹的.说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,机动目录上页下页返回结束例4.5.2求曲线的拐点.解:不存在因此点(0,0)为曲线的拐点.凹凸机动目录上页下页返回结束例4.5.3求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)及均为拐点.凹凹凸机动目录上页下页返回结束内

8、容小结1.可导函数单调性判别在I上单调递增在I上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点机动目录上页下页返