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1、1二、几个初等函数的麦克劳林公式一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用—应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算第三章2.7泰勒(Taylor)公式2特点:一、泰勒公式的建立以直代曲在微分应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?x的一次多项式3公式①称为的n阶泰勒公式.公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项.泰勒中值定理:阶的导数,时,有①其中②则当4证明：(余项估计)令(称为余项),则有56公式①称为的n阶泰勒公式.公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项.泰勒中值定理:阶的导数,时
2、,有①其中②则当7公式③称为n阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项.在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为注意到③④*可以证明:④式成立机动目录上页下页返回结束8特例:(1)当n=0时,泰勒公式变为(2)当n=1时,泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理可见误差机动目录上页下页返回结束9称为麦克劳林（Maclaurin）公式.则有在泰勒公式中若取则有误差估计式若在公式成立的区间上由此得近似公式10二、几个初等函数的麦克劳林公式其中机动目录上页下页返回结束11其中机动目录上页下页返回结束12类似可得其中
3、机动目录上页下页返回结束13其中机动目录上页下页返回结束14已知其中类似可得机动目录上页下页返回结束15三、泰勒公式的应用1.在近似计算中的应用误差M为在包含0,x的某区间上的上界.需解问题的类型:1)已知x和误差限,要求确定项数n;2)已知项数n和x,计算近似值并估计误差;3)已知项数n和误差限,确定公式中x的适用范围.16已知例1.计算无理数e的近似值,使误差不超过解:令x=1,得由于欲使由计算可知当n=9时上式成立,因此的麦克劳林公式为17说明:注意舍入误差对计算结果的影响.本例若每项四舍五入
4、到小数点后6位,则各项舍入误差之和不超过总误差为这时得到的近似值不能保证误差不超过因此计算时中间结果应比精度要求多取一位.机动目录上页下页返回结束18例2.用近似公式计算cosx的近似值,使其精确到0.005,试确定x的适用范围.解:近似公式的误差令解得即当时,由给定的近似公式计算的结果能准确到0.005.2.利用泰勒公式求极限23(3)求解:由于用洛必塔法则不方便!用泰勒公式将分子展到项,243.利用泰勒公式证明不等式例4.证明证:作业习题九（P106）1；2(2)；3(用皮亚诺余项）；6(2)；
5、7(1)(2)(4)(注意n是离散变量）；8（证法同教材P106例6）；9.31内容小结1.泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式.322.常用函数的麦克劳林公式3.泰勒公式的应用(1)近似计算(3)其他应用求极限,证明不等式等.(2)利用多项式逼近函数,3342246420246泰勒多项式逼近3442246420246泰勒多项式逼近35思考与练习计算解:原式36由题设对证:备用题2.有且37下式减上式,得令38两边同乘n!=整数+假设e为有理数(p,q为正整数),则当时,等式左边为整数;矛盾!2.证明
6、e为无理数.证:时,当故e为无理数.等式右边不可能为整数.39泰勒(1685–1731)英国数学家,他早期是牛顿学派最优秀的代表人物之一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《线性透视论》(1719)他在1712年就得到了现代形式的泰勒公式.他是有限差分理论的奠基人.40麦克劳林(1698–1746)英国数学家,著作有:《流数论》(1742)《有机几何学》(1720)《代数论》(1742)在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的麦克劳林级数.
