高等数学B教学课件：反常积分.ppt

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1、1二、无界函数的反常积分常义积分积分限有限被积函数有界推广一、无穷限的反常积分反常积分(广义积分)3.5反常积分2一、无穷限的反常积分引例.曲线和直线及x轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为3定义1.设若存在,则称此极限为f(x)的无穷限反常积分,记作这时称反常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,若则定义4则定义(c为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称发散.无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.并非不定型,说明:上述定义中若出现它表明该反常积分发散.5引入记号则有类似牛–莱公式的计算表达式:6例1.计算

2、反常积分解:思考:分析:原积分发散!注意:对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.广义积分和常义积分计算方法相同，广义积分代限有三句话：“能代则代之，代不了则取极限，极限不存在则积分发散。”8例3.证明第一类p积分证:当p=1时有当p≠1时有当p>1时收敛;p≤1时发散.因此,当p>1时,反常积分收敛,其值为当p≤1时,反常积分发散.收敛的广义积分的计算有与定积分完全类似的换元法和分部积分法。通过换元把广义积分化为常义积分。11二、无界函数的反常积分引例:曲线所围成的与x轴,y轴和直线开口曲边梯形的面积可记作

3、其含义可理解为12定义2.设而在点a的右邻域内无界,存在,这时称反常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,若而在b的左邻域内无界,若极限数f(x)在[a,b]上的反常积分,记作则定义则称此极限为函13若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类说明:而在点c的无界函数的积分又称作第二类反常积分,无界点常称邻域内无界,为瑕点(奇点).例如,间断点,而不是反常积分.则本质上是常义积分,则定义119内容小结1.反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限2.两个重要的反常积分20说明:(1)有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转

4、化.例如,(2)当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.21备用题试证,并求其值.解:令22作业1（1）（2）（7）（8）；2。习题十（P205）补充总习题3;4