高三数学（文数）总复习练习专题五 导数及其应用.pdf

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1、1．(2015·课标Ⅰ，14，易)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________．【解析】f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝3a＋1，f(1)＝a＋2，故f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，代入点(2，7)得，a＝1.【答案】12．(2015·课标Ⅱ，16，中)已知曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________．1【解析】　∵f′(x)＝1＋，∴f′(1)＝2，x∴切线

2、方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.由y＝2x－1，{y＝ax2＋（a＋2）x＋1，)得ax2＋ax＋2＝0.∴Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8(a＝0舍去)．【答案】81．(2011·重庆，3，易)曲线y＝－x3＋3x2在点(1，2)处的切线方程为()A．y＝3x－1B．y＝－3x＋5C．y＝3x＋5D．y＝2xAy′＝－3x2＋6x，当x＝1时，切线的斜率k＝－3×12＋6×1＝3.故切线方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1，故选A.2．(2011·山东，4，中)曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交

3、点的纵坐标是()A．－9B．－3C．9D．15【答案】C　∵y′＝3x2，∴过点P(1，12)的切线的斜率k＝3，切线方程为y－12＝3(x－1)，即3x－y＋9＝0，故切线与y轴交点为(0，9)，故选C.3．(2014·广东，11，易)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．【解析】　∵切线的斜率为y′

4、x＝0＝－5ex

5、x＝0＝－5，∴曲线在点(0，－2)处的切线方程为y＋2＝－5x，即5x＋y＋2＝0.【答案】5x＋y＋2＝04．(2013·广东，12，中)若曲线y＝ax2－lnx在点(1，a)处

6、的切线平行于x轴，则a＝________.【解析】　令f(x)＝ax2－lnx，得f′(x)＝2ax－，1x1所以曲线在点(1，a)处的切线的斜率k＝f′(1)＝2a－1＝0，得a＝.21【答案】2方法点拨：曲线在某点处的切线平行于一条直线(斜率存在)，则曲线在该点处的导数等于直线的斜率．5．(2014·江西，11，中)若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．【解析】　由题意知，y′＝lnx＋1，直线斜率为2.由导数的几何意义，令lnx＋1＝2，得x＝e，所以y＝elne＝e，所

7、以P(e，e)．【答案】(e，e)方法点拨：先求函数的导数，再利用导数的几何意义确定切点的坐标．6．(2012·北京，18，13分，中)已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．解：(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)

8、＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.解得a＝3，b＝3.(2)令h(x)＝f(x)＋g(x)．当a＝3，b＝－9时，h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.h(x)与h′(x)在(－∞，2]上的情况如下：x(－∞，－3)－3(－3，1)1(1，2)2h′(x)＋0－0＋h(x)28－43由此可知：当k≤－3时，函数h(x)在区间[k，2]上的最大值为h(－3)＝28；当－3＜k＜2时，函数h(x)在区间[k，2]上的最大值小于28

9、.因此，k的取值范围是(－∞，－3]．x－17．(2014·山东，20，13分，难)设函数f(x)＝alnx＋，其中a为常数．x＋1(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，a（x＋1）－（x－1）f′(x)＝＋x（x＋1）2a2＝＋，x（x＋1）22∵a＝0，∴f′(x)＝，（x＋1）2根据导数的几何意义，所求切线的斜率1k＝f′(1)＝.21又∵f(1)＝0，∴所求切线方程为y＝(x－1)，即x－2y－1＝0.2a（x＋1）2＋

10、2x(2)f′(x)＝x（x＋1）2ax2＋2（a＋1）x＋a＝，x（x＋1）2当a≥0时，由x＞0知f′(x)＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a＜0时，令g(x)＝ax2＋2(a＋1)x＋a，由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋