高三数学总复习：导数及其应用.doc

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1、高三数学总复习：导数及其应用第一节　导数的概念及其运算一、选择题1．如果质点A按规律s＝2t3运动，则在t＝3s时的瞬时加速度为(　　)A．18　　　　　B．24　　　　　C．36　　　　　D．542．(2008年辽宁卷)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为(　　)A.B.C.D.3．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)(n∈N)，则f2009(x)＝(　　)A．sinxB．－sinxC．cosxD．－co

2、sx4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(　　)A.e2B．2e2C．e2D.5．若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于(　　)A．－1或－B．－1或C．－或－D．－或7二、填空题6．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则′＝2πr①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：_______________________②，②式可以用

3、语言叙述为：___________________.7．已知f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(0)＝________.8．若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是．三、解答题9．如右图所示，已知A为抛物线C：y＝2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切，直线l2：x＝a交抛物线C于点B，交直线l1于点D.(1)求直线l1的方程；(2)求△ABD的面积S1.10．已知函数f＝x＋＋b，其中a，b∈R.(1)若曲线y＝f在点P处的切线方程为y＝3x＋1，求函数f的解析式；(2)讨论函数f的单调性；(3)若

4、对于任意的a∈，不等式f≤10在上恒成立，求b的取值范围．参考答案1．C2．解析：本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题．依题设切点P的横坐标为x0，且y′＝2x0＋2＝tanα(α为点P处切线的倾斜角)，又∵α∈，∴0≤2x0＋2≤1，∴x0∈.答案：A3．C4．解析：y′＝(ex)′＝ex，曲线在点(2，e2)处的切线斜率为e2，因此切线方程为y－e2＝e2(x－2)，则切线与坐标轴交点为A(1,0)，B(0，－e2)，所以：S△AOB＝×1×e2＝.答案：D5．解析：设过(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，)，所以切线方程为

5、y－＝3x(x－x0)即y＝3xx－2，又(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝，当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－，当x0＝时，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－1.答案：A6．解析：V球＝πR3，又(πR3)′＝4πR2，故②式可填(πR3)′＝4πR2，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数．”答案：(πR3)′＝4πR2　球的体积函数的导数等于球的表面积函数7．－48．解析：由题意可知f′(x)＝2ax2＋，又因为存在垂直于y轴的切线，所以2ax2＋＝0⇒a＝(x＞0)⇒a∈(－∞，0)．答案

6、：(－∞，0)9．解析：(1)由条件知点A为直线l1与抛物线C的切点，∵y′＝4x，∴直线l1的斜率k＝－4，即直线l1的方程为y－2＝－4(x＋1)，　即4x＋y＋2＝0.(2)点A的坐标为(－1,2)，由条件可求得点B的坐标为(a,2a2)，点D的坐标为(a，－4a－2)，∴△ABD的面积S1为S1＝×

7、2a2－(－4a－2)

8、×

9、－1－a

10、＝

11、(a＋1)3

12、＝－(a＋1)3.10．解析：(1)f′(x)＝，由导数的几何意义得f′(2)＝3，于是a＝－8.由切点P(2，f(2))在直线y＝3x＋1上可得－2＋b＝7，解得b＝9.所以函数f(

13、x)的解析式为f(x)＝x－＋9.(2)f′(x)＝.当a≤0时，显然f′(x)>0(x≠0)．这时f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数．当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝±.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－)－(－，0)(0,)(，＋∞)f′(x)＋0－－0＋f(x)↗极大值↘↘极小值↗所以f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)内是增函数，在(－，0)，(0，)内是减函数．(3)由(2)知，f(x)在上的最大值为与f(1)的较大者，对于任意的a∈，不等式f(x)≤10在上恒成立，当且仅当，即，对任意的a

14、∈成立．从而得b≤，所以满足条件的b的取值范围是.第二节导数在研究函数中的应用一、选择题1．设f、g是R上的可导函数，f′、g′分别为f、g的导函数，