2019_2020学年高中数学第4章导数及其应用4.3.1利用导数研究函数的单调性应用案巩固提升湘教版选修2_2.doc

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1、4.3.1利用导数研究函数的单调性[A　基础达标]1．函数f(x)＝(x－1)ex的单调递增区间是(　　)A．(－∞，0)　　　　　　　　B．(0，1)C．(1，4)D．(0，＋∞)解析：选D.f′(x)＝(x－1)′ex＋(x－1)(ex)′＝xex，令f′(x)>0，解得x>0，故选D.2．函数y＝x2－lnx的单调递减区间为(　　)A．(0，1)B．(0，1)和(－∞，－1)C．(0，1)∪(1，＋∞)D．(0，＋∞)解析：选A.y＝x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，由y′＝x－＝＜0，所以0＜x＜1.所以选A.3．y＝x

2、lnx在(0，5)上是(　　)A．增函数B．减函数C．在上是减函数，在上是增函数D．在上是增函数，在上是减函数解析：选C.y′＝lnx＋1，令y′＝0，则x＝，当0＜x＜时，y′＜0；当x＞时，y′＞0，所以函数y＝xlnx在上为减函数，在上为增函数．4．已知函数f(x)＝－x，则f(x)在(0，＋∞)上的单调性为(　　)A．f(x)在(0，＋∞)上是增函数6B．f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数C．f(x)在(0，＋∞)上是减函数D．f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数解析：选C.f′(

3、x)＝′＝′－x′＝－－1<0，所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数，选C.5．函数f(x)＝x＋cosx的一个单调递增区间为(　　)A.B.C.D.解析：选A.由f(x)＝x＋cosx得f′(x)＝－sinx，当x∈时，f′(x)>0，故函数f(x)＝x＋cosx的一个单调递增区间为.故选A.6．函数f(x)＝2x3－3x2＋1的增区间是________，减区间是________．解析：因为f′(x)＝6x2－6x，令f′(x)>0，得x<0或x>1，令f′(x)<0，得0

4、．函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex(x∈R)的单调减区间为________．解析：f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝ex(x2＋3x＋2)＝ex(x＋1)(x＋2)，令f′(x)＜0，解得－2＜x＜－1，所以函数f(x)的单调减区间为(－2，－1)．答案：(－2，－1)8．已知函数f(x)＝x2＋ax－lnx，a∈R，若函数f(x)在[1，2]上是减函数，则实数a的取值范围是________．解析：f′(x)＝2x＋a－，因为函数f(x)在[1，2]上是减函数，所以f′(x)≤0在[1，2]上恒成立(“＝”不恒

5、成立)，即2x＋a－≤0在[1，2]上恒成立，所以a≤－2x在[1，2]上恒成立，6而g(x)＝－2x在[1，2]上是减函数，所以g(x)min＝g(2)＝－2×2＝－，所以a≤－.答案：9．求下列函数的单调区间：(1)y＝x－lnx；(2)f(x)＝.解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－，由y′＞0，得x＞1；由y′＜0，得0＜x＜1.所以函数y＝x－lnx的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0，1)．(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f′(x)＝＝.因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所

6、以ex>0，(x－2)2>0.令f′(x)>0，解得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；令f′(x)<0，解得x<3，又x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2，3)．10．已知函数f(x)＝lnx－.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)证明：当x>1时，f(x)0得解得0

7、x∈(1，＋∞)时，F′(x)<0，所以F(x)在(1，＋∞)上单调递减，故当x>1时，F(x)1时，f(x)f()D．f()，f()的大小关系无法确定解析：选C.f′(x)＝＝，当x<1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．因为<<1，所以f()>f()．故选C.12．已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0

8、的解集是________．解析：因为在(0，＋∞)上f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)＝0，且f(x)在(－∞，0)上单调递减，f(x)的草图如图所示，所以xf(x)<0的解集为(－∞