2019年高中数学 第4章 导数及其应用 4.3 导数在研究函数中的应用 4.3.1 利用导数研究函数的单调性讲义（含解析）湘教版选修2-2

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1、4．3.1　利用导数研究函数的单调性[读教材·填要点]函数在区间(a，b)上的单调性与其导函数的正负有如下关系：导函数的正负函数在(a，b)上的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常数函数[小问题·大思维]1．在区间(a，b)内，若f′(x)>0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？提示：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在0处的导数等于零．也就是说f′(x)>0是y＝f(x)在某个区间上递增的充分不必要条件．2．右图为导函数y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)的单调区间是什么？提示：单调递增区间：(－∞，－3]，

2、[－2,1]，[3，＋∞)；单调递减区间：[－3，－2]，[1,3]．判断(或证明)函数的单调性已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－，讨论函数f(x)的单调性．[自主解答]　由题设知a≠0.f′(x)＝3ax2－6x＝3ax，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝.当a>0时，若x∈(－∞，0)，则f′(x)>0.∴f(x)在区间(－∞，0)上为增函数．若x∈，则f′(x)<0，∴f(x)在区间上为减函数．若x∈，则f′(x)>0，∴f(x)在区间上是增函数．当a<0时，若x∈，则f′(x)<0.∴f(x)在上是减函数．若x∈，则f′(x)>0.∴f(x)在区间上

3、为增函数．若x∈(0，＋∞)，则f′(x)<0.∴f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数．利用导数判断或证明函数单调性的思路1．求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．证明：由f(x)＝ex－x－1，得f′(x)＝ex－1.当x∈(0，＋∞)时，ex－1>0，即f′(x)>0.∴f(x)在(0，＋∞)内为增函数．当x∈(－∞，0)时，ex－1<0，即f′(x)<0.∴f(x)在(－∞，0)内是减函数．求函数的单调区间求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝3x2－lnx；(2)f(x)＝－ax3＋x2＋1(a≤0)．[自主解

4、答]　(1)函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－＝，令f′(x)>0，即>0，∵x>0，∴6x2－1>0，∴x>.令f′(x)<0，即<0，∵x>0，∴6x2－1<0，∴00⇔(－ax＋2)x>0⇔x>0⇔x>0或x<；f′(x)<0⇔

5、y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．方法二：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．2．已知函数f(x

6、)＝(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间．解：(1)由题意得f′(x)＝，又f′(1)＝＝0，故k＝1.(2)由(1)知，f′(x)＝.设h(x)＝－lnx－1(x>0)，则h′(x)＝－－<0，即h(x)在(0，＋∞)上是减函数．由h(1)＝0知，当00，从而f′(x)>0；当x>1时，h(x)<0，从而f′(x)<0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．已知函数的单调性求参数范围已知函数f(x)＝lnx，g

7、(x)＝ax2＋2x，a≠0.(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．[自主解答]　(1)h(x)＝lnx－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ax－2.因为h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x∈(0，＋∞)时，－ax－2<0有解，即a>－有解．设G(x)＝－，所以只要a>G(x)min即可．而G(x)＝2－1，所以G(x)min＝－1.所以a>－1.即实数a的取值范围是(－1，＋∞)．(2)因为h(x)在[1,4]上单调递

8、减，所以x