高中数学第四章导数及其应用4.3导数在研究函数中的应用4.3.1利用导数研究函数的单调性分层训练湘教版选修2.pdf

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名师推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4．3.1利用导数研究函数的单调性一、基础达标1．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A32解析f(x)＝x在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x≥0(－1

2、21解析∵y＝x－lnx的定义域为(0，＋∞)，∴y′＝x－，令y′<0，2x1即x－<0，解得：00，∴0

3、⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名师推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3C．y＝x－xD．y＝lnx－x答案B22解析显然y＝sinx在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A；对于函数y＝xe，因e2为大于零的常数，不用求导就知y＝xe在(0，＋∞)内为增函数；233对于C，y′＝3x－1＝3x＋x－，3333故函数在－∞，－，，＋∞上为增函数，33331在－，上为减函数；对于D，y′＝－1(x＞0)．33x故函数在(1，＋∞)上为减函数，在(0,1)上为增函数．故选B.35．函数y＝f(x)在其定义域－，3内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝2f′(x)，则不等式f′(

4、x)≤0的解集为________．1答案－，1∪[2,3)326．函数y＝ln(x－x－2)的递减区间为________．答案(－∞，－1)2x－11解析f′(x)＝2，令f′(x)＜0得x＜－1或＜x＜2，注意到函数定义域为(－x－x－22∞，－1)∪(2，＋∞)，故递减区间为(－∞，－1)．37．已知函数f(x)＝x＋ax＋8的单调递减区间为(－5,5)，求函数y＝f(x)的递增区间．2解f′(x)＝3x＋a.2∵(－5,5)是函数y＝f(x)的单调递减区间，则－5,5是方程3x＋a＝0的根，2∴a＝－75.此时f′(x)＝3x－75，2令f′(x)＞0，则3x－75＞0，

5、解得x＞5或x＜－5，∴函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－5)和(5，＋∞)．二、能力提升8．如果函数f(x)的图象如图，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名师推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯()答案A解析由f(x)与f′(x)关系可选A.9．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)＞g′(x)，则当a＜x＜b时，有()A．f(x)＞g(x)B．f(x)＜g(x)C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)D．f(x)＋g(b)＞g(x)＋f(b)答案C解析∵f′(x)－g′(x)＞0，∴(f(x

6、)－g(x))′＞0，∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数，∴当a＜x＜b时f(x)－g(x)＞f(a)－g(a)，∴f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)．21110．(2013·大纲版)若函数f(x)＝x＋ax＋在，＋∞是增函数，则a的取值范围是x2________．答案[3，＋∞)3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名师推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯211解析因为f(x)＝x＋ax＋在，＋∞上是增函数，x211故f′(x)＝2x＋a－2≥0在，＋∞上恒成立，x211即a≥2－2x在，＋∞上恒成立．x212令h(x)＝2－2x，则h′(x)

7、＝－3－2，xx1当x∈，＋∞时，h′(x)＜0，则h(x)为减函数，21所以h(x)＜h＝3，所以a≥3.211．求下列函数的单调区间：(1)y＝x－lnx；2(2)y＝ln(2x＋3)＋x.1解(1)函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－，x由y′＞0，得x＞1；由y′＜0，得0＜x＜1.∴函数y＝x－lnx的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)．23(2)函数y＝ln(2x＋3)＋x的定义域为－，＋∞.22∵y＝ln(2x＋3)＋x，224x＋6x＋2x＋x＋∴y′＝＋2x