高中数学第四章导数及其应用4.3导数在研究函数中的应用4.3.2函数的极大值和极小值分层训练湘教版选修2.pdf

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1、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,名校名师推荐,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4.3.2函数的极大值和极小值一、基础达标1.函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图象如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案A解析当满足f′(x)＝0的点，左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点．2．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B32解析

2、对于f(x)＝x，f′(x)＝3x，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.323．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x－ax－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．2B．3C．6D．9答案D2解析f′(x)＝12x－2ax－2b，∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a＞0，b＞0，∴a＋b≥2ab，∴2ab≤6，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，∴ab的最大值为9.324．函数y＝x－3x－9x(－2＜x＜2)有()A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无

3、极小值D．极小值－27，无极大值1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,名校名师推荐,,,,,,,,,,,,,,,,,,,答案C2解析由y′＝3x－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x＜－1或x＞3时，y′＞0，当－1＜x＜3时，y′<0.故当x＝－1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值．325．函数f(x)＝x＋3ax＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－1)∪(2，＋∞)222解析∵f′(x)＝3x＋6ax＋3(a＋2)，令3x＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x＋2ax＋a＋2＝0，2∵函数f(x)有极大值和

4、极小值，∴方程x＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即2Δ＝4a－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.36．若函数y＝x－3ax＋a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是________．答案(1,4)23解析y′＝3x－3a，当a≤0时，y′≥0，函数y＝x－3ax＋a为单调函数，不合题意，2舍去；当a＞0时，y′＝3x－3a＝0?x＝±a，不难分析，当31＜a＜2，即1＜a＜4时，函数y＝x－3ax＋a在(1,2)内有极小值．2－x7．求函数f(x)＝xe的极值．解函数的定义域为R，－x21f′(x)＝2xe＋x·x′e－x2－x－x＝2xe－xe＝x(2－x)e，

5、令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－－2f(x)04e由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且为f(0)＝0；－2当x＝2时，函数有极大值，且为f(2)＝4e.二、能力提升8．已知函数f(x)，x∈R，且在x＝1处，f(x)存在极小值，则2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,名校名师推荐,,,,,,,,,,,,,,,,,,,()A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋

6、∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0答案C解析∵f(x)在x＝1处存在极小值，∴x＜1时，f′(x)＜0，x＞1时，f′(x)＞0.9．(2013·福建)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．?x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点答案D解析x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，并不是最大值点．故A错

7、；f(－x)相当于f(x)关于y轴的对称图象的函数，故－x0应是f(－x)的极大值点，B错；－f(x)相当于f(x)关于x轴的对称图象的函数，故x0应是－f(x)的极小值点．跟－x0没有关系，C错；－f(－x)相当于f(x)关于坐标原点的对称图象的函数．故D正确．10.如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：1①函数y＝f(x)在区间－3，－内单调递增；21②函数y＝f(x)在区间－，3内单调递减；2③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；④当