2017-2018学年高中数学第四章导数及其应用4.3导数在研究函数中的应用4.3.1利用导数研究函数的单调性分层训练湘教版选修2

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1、4．3.1　利用导数研究函数的单调性一、基础达标1．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则甲是乙的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　A解析　f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－1

2、x－<0，解得：00，∴0

3、除A；对于函数y＝xe2，因e2为大于零的常数，不用求导就知y＝xe2在(0，＋∞)内为增函数；对于C，y′＝3x2－1＝3，故函数在，上为增函数，在上为减函数；对于D，y′＝－1(x＞0)．故函数在(1，＋∞)上为减函数，在(0,1)上为增函数．故选B.5．函数y＝f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为________．答案　∪[2,3)6．函数y＝ln(x2－x－2)的递减区间为________．答案　(－∞，－1)解析　f′(x)＝，令f′(x)＜0得x＜－1或＜x＜2，注意到函数定义域为

4、(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故递减区间为(－∞，－1)．7．已知函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调递减区间为(－5,5)，求函数y＝f(x)的递增区间．解　f′(x)＝3x2＋a.∵(－5,5)是函数y＝f(x)的单调递减区间，则－5,5是方程3x2＋a＝0的根，∴a＝－75.此时f′(x)＝3x2－75，令f′(x)＞0，则3x2－75＞0，解得x＞5或x＜－5，∴函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－5)和(5，＋∞)．二、能力提升8．如果函数f(x)的图象如图，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　)答案　A解析　由f(x)与f′(x)关系可选A.9．

5、设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)＞g′(x)，则当a＜x＜b时，有(　　)A．f(x)＞g(x)B．f(x)＜g(x)C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)D．f(x)＋g(b)＞g(x)＋f(b)答案　C解析　∵f′(x)－g′(x)＞0，∴(f(x)－g(x))′＞0，∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数，∴当a＜x＜b时f(x)－g(x)＞f(a)－g(a)，∴f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)．10．(2013·大纲版)若函数f(x)＝x2＋ax＋在是增函数，则a的取值范围是________．答案　[3，＋∞)解析　因为f(x

6、)＝x2＋ax＋在上是增函数，故f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，即a≥－2x在上恒成立．令h(x)＝－2x，则h′(x)＝－－2，当x∈时，h′(x)＜0，则h(x)为减函数，所以h(x)＜h＝3，所以a≥3.11．求下列函数的单调区间：(1)y＝x－lnx；(2)y＝ln(2x＋3)＋x2.解　(1)函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－，由y′＞0，得x＞1；由y′＜0，得0＜x＜1.∴函数y＝x－lnx的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)．(2)函数y＝ln(2x＋3)＋x2的定义域为.∵y＝ln(2x＋3)＋x2，∴y′＝＋2x＝＝.当y′

7、＞0，即－＜x＜－1或x＞－时，函数y＝ln(2x＋3)＋x2单调递增；当y′＜0，即－1＜x＜－时，函数y＝ln(2x＋3)＋x2单调递减．故函数y＝ln(2x＋3)＋x2的单调递增区间为，，单调递减区间为.12．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象经过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x)的单调区间．解　(1)由y＝f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由在点M(－1，