直线和圆中的最值问题题库.doc

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1、椭圆中的定点，定值，最值问题：18．（2011常州一模）（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为（，为常数），离心率等于0.8，过焦点、倾斜角为的直线交椭圆于、两点．⑴求椭圆的标准方程；⑵若时，，求实数；⑶试问的值是否与的大小无关，并证明你的结论．17.（2011苏北四市）（本题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点，且经过点M，N，若圆C的不圆心与椭圆的右焦点重合，圆的半径恰好等于椭圆的短半轴长，已知点A为圆C上的一点.（1）求椭圆的标准方程和圆的标准方程；（2）求（O为坐标原点）的取值范围；（3）求的最大值和最小值.17.（1）设椭圆的标准

2、方程为，依题意可得，可得，所以，所求椭圆的标准方程为.…………………………………………3分因为圆的圆心C和椭圆的右焦点重合，圆的半径恰为椭圆的短半轴长，故园的标准方程为.…………………………………………………5分（2）由（1）得圆心C（1，2），所以，而则所以，…………………………………………………7分而则，即即，因此，从而（O为坐标原点）的取值范围为.………10分(3)表示圆上点P与坐标原点O的距离的平方，因为原点O到圆心C（2，0）的距离为2，圆的半径为1，所以P与坐标原点O的距离的最小值为2-1=1，与坐标原点O的距离的最大值为2+1=3，故的最大值为

3、9，最小值1.…………14分18.（本小题满分16分）（2011苏州）如图，椭圆的左焦点为，上顶点为，过点作直线的垂线分别交椭圆、轴于两点.⑴若,求实数的值；⑵设点为的外接圆上的任意一点，当的面积最大时，求点的坐标.（2011无锡一模）已知椭圆的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．（1）当直线AM的斜率为时，求点M的坐标；（2）当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由．18．（1）直线AM的斜率为时，直线AM：，……………1分代入椭圆方程并化简得：，……………2

4、分解之得，∴．…4分（2）设直线AM的斜率为，则AM：，则　化简得：．……6分∵此方程有一根为，∴，………7分同理可得．……………8分由（1）知若存在定点，则此点必为．………9分∵，………………11分同理可计算得．………13分∴直线MN过轴上的一定点．………16分17、（2011南京二模）（本题满分14分）如图,椭圆C：+=1的右顶点是A，上下两个顶点分别为B、D，四边形DAMB是矩形（O为坐标原点），点E、P分别是线段OA、AM的中点。（1）求证：直线DE与直线BP的交点在椭圆C上.（2）过点B的直线l1、l2与椭圆C分别交于R、S（不同于B点），且它们的

5、斜率k1、k2满足k1*k2=-，求证：直线RS过定点，并求出此定点的坐标。20.（2011南通二模）已知依次满足（1）求过点的轨迹；（2）过点作直线交以为焦点的椭圆于两点，线段的中点到轴的距离为，且直线与点的轨迹相切，求该椭圆的方程；（3）经过（2）中椭圆上顶点B作直线m，n，使m⊥n，直线m，n分别交椭圆于P，Q，连接PQ，求证PQ经过定点.解：（1）设（2）设直线的方程为①椭圆的方程②由与圆相切得：将①代入②得：，又，可得，有，∴，.（3）点B(0，2)，直线m：y=kx+2，代入椭圆方程得：x2+2(kx+2)2=8，解出；直线n：y=(-1/k)x

6、+2，同理得：.直线PQ的方程：.令x=0，，直线PQ经过定点.17．（本题满分14分）已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l：．⑴求椭圆的标准方程；⑵设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值．解：⑴∵椭圆C的短轴长为2，椭圆C的一条准线为l：，∴不妨设椭圆C的方程为．（2分）∴，（4分）即．（5分）∴椭圆C的方程为．（6分）⑵F（1，0），右准线为l：，设，则直线FN的斜率为，直线ON的斜率为，（8分）∵FN⊥OM，∴直线OM的斜率为，（9分）∴直线OM的

7、方程为：，点M的坐标为．（11分）∴直线MN的斜率为．（12分）∵MN⊥ON，∴，∴，∴，即．（13分）∴为定值．（14分）直线和圆中的最值问题：19（苏北九市2011一模）（本小题满分16分）已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．19（本小题满分16分）解：（Ⅰ）点A代入圆C方程，得．∵m＜3，∴m＝1．……2分圆C：．设直线PF1的斜率为k，则PF1：，即．∵直线PF1与圆C相切，∴．解得．……………

8、………4分当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，