复数在初等数学中的应用.doc

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1、复数在初等数学中的应用复数具有代数形式、三角形式、几何形式等多种表示方法,而这些表示所蕴含的实际意义,以新的视角、新的途径沟通了代数、三角和几何等内容之间的联系，所以巧妙得利用复数四则运算法则，以及复数模，幅角的运算性质能够巧妙的解决初等数学中的一些问题。一．复数在函数中的应用１．利用复数求函数值域　　例1　求函数的值域．　　解：，　　令，，则．　　因，　　（*）　　又复数在复平面上对应的点在平行于实轴的直线上，　　从而和原点O不可能共线，即（*）式不能取等号．则，即所求函数的值域为．例2解：又y是x的连续函数2．利用复数求函数的最值　　例

2、3　求函数的最小值．　　解：原函数可化为．　　构造复数，，则　　．　　当且仅当，即时，等号成立．　　故当时，．二．复数证明不等式中的应用　　例4　设a、b、x、y都是实数，求证：　　．　　证明：设，则，　　，则

3、z２

4、，　　，则，　　，则，　　又∵，　　∴．　　由模的性质可知，∴三．复数在三角函数中的应用1.利用复数计算三角函数的和、积问题例5计算：p=coscoscos.解：设z=cosisin，由公式得，，，又z=cos＋isin=cos＋isin=1.所以可得：p=coscoscos==由等比数列求和公式，得====0于是p==.例6

5、计算：S=cos＋cos＋cos.解：设z=cos＋isin，由公式二得，，，又z=cos＋isin=cos＋isin=－1.∴S=cos＋coscos==由等比数列求和公式，得==于是S=====.例7计算：q=sin－sin.解：设z=cos＋isin，则z=－1，z=i，由公式二得q=sin－sin=，由等比数列求和公式，得====于是q====.2、复数证明三角恒等式例8求证：=＋证明：设z=cos＋isin，则z=－1，由公式得sin，sin，sin，由此有=，+==+=======，例9设A、B、C为三角形三内角，求证：sinA

6、＋sinB＋sinC=4coscoscos.证明：设=cos＋isin，=cos＋isin，=cos＋isin，∵A＋B＋C=π，则=cos＋isin=i，由公式得右边=4coscoscos=4==左边=sinA＋sinB＋sinC=＋＋===所以可得sinA＋sinB＋sinC=4coscoscos3.复数证明三角不等式例10求证：5＋8cos＋4cos＋cos≥0.证明：设z=cos＋isin，∴z＋=2cos，由公式得cos=，cos=，cos=左边=5＋＋＋========所以可得：5＋8cos＋4cos＋cos≥0.四．复数在几何

7、图形中的应用1.复数与几何图形的关系例11　（矩形）已知复数、满足，，且，求与的值．解：设复数、在复平面上对应的点分别为、，由于，故，故以，为邻边的平行四边形是矩形,，则；　例12　（正方形）已知复数、满足，且，求证．　　证明：设复数、在复平面上对应的点分别为、，由条件知，以，为邻边的平行四边形为正方形，而在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以　　例13　（菱形）已知、，，，求．　　解：设复数、、在复平面上对应的点分别为、、，由知，以，为邻边的平行四边形是菱形，在中，由余弦定理，得，∴，∴，因此，是正三角形，∴2.求几何图形的点的坐

8、标例14如图，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别表示0，，，试求：（1）所表示的复数，所表示的复数.（2）对角线所表示的复数．（3）对角线所表示的复数及的长度．分析：要求某个向量对应的复数，只要找出所求的向量的始点和终点。或者用向量的相等直接给出所求的结论．解：（1）所表示的复数为．，所表示的复数为．（2），所表示的复数为（3）对角线，它所对应的复数为所以例15复数，，，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数。分析：利用或者求点D对应的复数。解：设复数，，所对应的点分别为A、B、C，正方形的第四

9、个顶点D对应的复数为（）则∵，∴∴解得故点D对应的复数五．复数在求点运动轨迹的运用例16:已知关于t的一元二次方程（1）当方程有实根时，求点的轨迹方程．（2）求方程的实根的取值范围．解：（1）设实根为t，则即根据复数相等的充要条件得由（2）得代入（1）得即……（3）∴所求点的轨迹方程为，轨迹是以（1，－1）为圆心，为半径的圆．（2）由（3）得圆心为（1，－1），半径，直线与圆有公共点，则，即∴，故方程的实根的取值范围为．例17，求对应的点的轨迹方程．解：，则又，故有∴∴对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．六．复数在代数运算中的应用例18计算

10、解：例19已知关于x的方程有实根，求这个实根以及实数k的值．解：设是方程的实根，代入方程并整理得由复数相等的条件得解得或∴方程的实根为或，相应的k值为或