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1、第十章定积分的应用§1平面图形的面积1.求由抛物线所围图形的面积.解两曲线的交点是,所以所围的平面图形的面积为.2.求由曲线所围图形的面积.解==.3.抛物线把圆分成两部分,求这两部分面积之比.解抛物线与圆的交点如图10-1所示,抛物线分成两部分,记它们的面积分别为，则==,所以.4.求内摆线所围图形的面积(如图10-2).解所围图形的面积.5.求心形线所围图形的面积.解所围图形的面积为.6.求三叶形曲线所围图形的面积.解如图10-3所示，所求的面积为=.7.求由曲线与坐标轴所围图形的面积.解曲线与轴交点,与y轴交点为所以,所求面积为==.8.求由曲线所围图形的面积.解当时,.故当由变到
2、1时,曲线从原点出发到原点,构成了一个封闭曲线围成的平面图形,故.9.求二曲线与所围公共部分的面积.解如图10-4所示,解方程组得所围公共部分的面积.10.求两椭圆所围公共部分的面积.解如图10-5所示.图形关于两坐标轴对称,故只须求第一象限的图形面积.在第一象限内,解得交点为又根据对称性,所求面积,其中所以,§2由平行截面面积求体积1.如图10-6所示,直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截,试求截得楔形体的体积.解如图10-6所示建立直角坐标系，则椭圆柱面的方程为，.斜面的方程为.用平面截这个立体,得一长方形,其边长是,所以从而,.2.求下列平面曲线绕轴旋转所围成立体的体积:(1)(2
3、)(3)(4)解(1).(2).(3)是心脏线,而是心脏线极轴之上部分的参数方程,故=.(4)原方程可写成,所以.1.已知球半径为r,验证高为h的球缺体积证球缺体积可看作是曲线轴旋转而得到的,所以体积为.4.求曲线所围平面图形(图10-7)绕轴旋转所得立体的体积.解==.5.导出曲边梯形绕轴旋转所得立体的体积公式为.证明用元素法和柱壳法证明本题.所谓柱壳法,就是把旋转体看成是以轴为中心轴的一系列圆柱形薄壳组成的(图10-8),以此柱壳的体积作为体积元素.当很小时,此小柱壳的高可看作不变,即为圆柱薄壳.在区间上的柱壳体积,即体积元素,于是旋转体体积.6.求所示平面图形绕轴旋转所得立体的体积
4、.解曲线可分成两部分用截这个立体,其截面面积为.即面积函数为,故§3平面曲线的弧长与曲率1.求下列曲线的弧长：(1)(2);(3);(4);(5);(6).解(1)由于,故.(2)由得,从而,,所以,.(3)由于,所以.(4)因为,所以.(5)因为，所以.(6)因为，所以.*2.求下列各曲线在指定点处的曲率:(1);(2);(3);(4).解(1)从而,所以,曲线在点(2,2)处的曲率为.(2)由于,,所以.(3)由于,,,,所以.(4),,所以,,,,故.3.求的值,使椭圆的周长等于正弦曲线在上一段的长.解设椭圆的周长为,正弦曲线的周长为则,由于.故.*4.设曲线由极坐标方程给出,且二
5、阶可导,证明它在点处的曲率为.证当方程由极坐标系转换成直角坐标系时,曲线以为参数的方程为,从而,=.,,故所以.*5.用上题公式,求心形线在处的曲率、曲率半径和曲率圆.解从上题得知,对于心形线,由于.故它在处的曲率为曲率半径为,曲率圆的圆心在轴上,半径为,方程为.*6.证明抛物线在顶点处的曲率为最大.证在点处抛物线的曲率半径为令则故当,这时取得最小值,所以也最小,而点正是抛物线的顶点,故在此点抛物线的曲率为最大.*7.求曲线上曲率最大的点.解由于,故曲率所以,是稳定点,且当时,;当时,,故在取得极大值,从而曲线在点处曲率最大.§4旋转曲面的面积1.求下列平面曲线绕指定轴旋转所得旋转曲面的
6、面积：(1);(2)(3);(4).解(1)根据旋转体侧面积公式,得旋转曲面的面积为.(2)旋转曲面的面积为.(3)因为所以旋转曲面的面积为当时，，当时，，当时，.(4)此旋转体的表面可看作是由两个半圆:,,绕轴旋转所得旋转曲面的面积+=.2.设平面光滑曲线由极坐标方程给出，试求它绕极轴旋转所得旋转曲面的面积计算公式.解因为所以.3.试求下列极坐标曲线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积.(1)心形线;(2)双纽线.解(1)把所给曲线化成以为参量的参量方程,.据对称性和参量方程曲线旋转体表面积公式,.(2)曲线的参数方程为:由曲线的对称性.§5定积分在物理中的某些应用1.有一等腰梯形闸门,它的上
7、、下两条底边各长为10米和6米，高为20米.计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力.解建立如图10-9所示坐标系,过,两点直线方程是,即.在微小区间上的压力元素.所以=1466.7(吨)=1466.7×9.8=14374(.1.边长为的矩形薄板,与液面成角斜沉于液体中,设,长边平行于液面,上沿位于深处,液体的比重为.试求薄板每侧所受的静压力.解建立如图10-10所示坐标系,设为液平面,矩形薄板与液面成角,短边所在直线与液面的交
