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《数理逻辑练习题及答案-5.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、一阶逻辑等值式与置换规则1．设个体域D={a,b,c}，消去下列各式的量词： (1)xy(F(x)∧G(y)) (2)xy(F(x)∨G(y)) (3)xF(x)→yG(y) (4)x(F(x,y)→yG(y))2．设个体域D={1,2}，请给出两种不同的解释I1和I2，使得下面公式在I1下都是真命题，而在I2下都是假命题。 (1)x(F(x)→G(x)) (2)x(F(x)∧G(x))3．给定解释I如下： (a)个体域D={3,4}。 (b)(x)为(3)=4，(4)=3。 (c)(x,y)为(3,3)=(4,4)=0，(3,4)=(4,3)=1。试求下列公式
2、在I下的真值： (1)xyF(x,y) (2)xyF(x,y) (3)xy(F(x,y)→F(f(x),f(y)))4．构造下面推理的证明： (1)前提：x(F(x)→(G(a)∧R(x)))，xF(x) 结论：x(F(x)∧R(x)) (2)前提：x(F(x)∨G(x))，┐xG(x) 结论：xF(x) (3)前提：x(F(x)∨G(x))，x(┐G(x)∨┐R(x))，xR(x) 结论：xF(x)1．证明下面推理： (1)每个有理数都是实数，有的有理数是整数，因此有的实数是整数。 (2)有理数、无理数都是实数，虚数不是实数，因此虚
3、数既不是有理数、也不是无理数。 (3)不存在能表示成分数的无理数，有理数都能表示成分数，因此有理数都不是无理数。答案1.(1)xy(F(x)∧G(y)) xF(x)∧yG(y) (F(a)∧F(b))∧F(c))∧(G(a)∨G(b)∨G(c))(2)xy(F(x)∨G(y)) xF(x)∨yG(y) (F(a)∧F(b)∧F(c))∨(G(a)∧G(b)∧G(c))(3)xF(x)→yG(y) (F(a)∧F(b)∧F(c))→(G(a)∧G(b)∧G(c))(4)x(F(x,y)→yG(y)) xF(x,y)→yG(y) (F(a,y)∨F(b,y)∨F(c,y))→(G(
4、a)∨G(b)∨G(c))2.(1)I1:F(x):x≤2,G(x):x≤3F(1),F(2),G(1),G(2)均为真，所以 x(F(x)→G(x))(F(1)→G(1)∧(F(2)→G(2))为真。I2:F(x)同I1,G(x):x≤0则F(1),F(2)均为真，而G(1),G(2)均为假，x(F(x)→G(x))为假。(2)留给读者自己做。3.(1)xyF(x,y) (F(3,3)∨F(3,4))∧(F(4,3)∨F(4,4)) (0∨1)∧(1∨0)1(2)xyF(x,y) (F(3,3)∧F(3,4))∨(F(4,3)∧F(4,4)) (0∧1)∨(1∧0)0(3)
5、xy(F(x,y)→F(f(x),f(y))) (F(3,3)→F(f(3),f(3))) ∧(F(4,3)→F(f(4),f(3))) ∧(F(3,4)→F(f(3),f(4))) ∧(F(4,4)→F(f(4),f(4))) (0→0)∧(1→1)∧(1→1)∧(0→0)14.(1)证明:①xF(x)前提引入 ②F(c)①ES ③x(F(x)→(G(a)∧(R(x)))前提引入 ④F(c)→(G(a)∧R(c))④US ⑤G(a)∧R(c)②④假言推理 ⑥R(c)⑤化简 ⑦F(c)∧R(c)②⑥合取 ⑧x(F(x)∧R(x))⑥EG(2)证明：①┐xG(x)前提引入 ②
6、x┐G(x)①置换 ③┐G(c)②US ④x(F(x)∨G(x))前提引入 ⑤F(c)∨G(c)④US ⑥F(c)③⑤析取三段论 ⑦xF(x)⑥EG(3)证明：①x(F(x)∨G(x))前提引入 ②F(y)∨G(y)①US ③x(┐G(x)∨┐R(x))前提引入 ④┐G(y)∨┐R(y)③US ⑤xR(x)前提引入 ⑥R(y)⑤US ⑦┐G(y)④⑥析取三段论 ⑧F(y)②⑦析取三段论 ⑨xF(x)UG5.(1)设F(x):x为有理数，R(x):x为实数，G(x):x是整数。前提：x(F(x)→R(x))，x(F(x)∧G(x))结论：x(R(x)∧G(x))证明：①x(F(x)
7、∧G(x))前提引入②F(c)∧G(c)①ES③F(c)②化简④G(c)②化简⑤x(F(x)→R(x))前提引入⑥F(c)→R(c)⑤US⑦R(c)③⑥假言推理⑧R(c)∧G(c)④⑦合取⑨x(R(x)∧G(x))⑧EG(2)设：F(x):x为有理数，G(x):x为无理数，R(x)为实数， H(x)为虚数前提：x((F(x)∨G(x))→R(x)),x(H(x)→┐R(x))结论：x(H(x)→(┐F(x)∧┐G(x)))证明：①x((F(x)∨G(x)→R(x))前提引入 ②F
