2018版高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列（二）学案 新人教A版必修5.doc

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1、2.4等比数列（二）[学习目标]　1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断是否成等比数列的方法．知识点一　推广的等比数列的通项公式{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1，an＝am·qn－m(m，n∈N*)．思考1　如何推导an＝amqn－m?答案　根据等比数列的通项公式，an＝a1qn－1，am＝a1qm－1，∴＝qn－m，∴an＝am·qn－m.思考2　若已知等比数列{an}中，q＝3，a3＝3，则a7＝____．答案　243解析　a7＝a3·q

2、4＝3·34＝35＝243.知识点二　等比数列的性质1．如果m＋n＝k＋l，则有am·an＝ak·al．2．如果m＋n＝2k，则有am·an＝a．3．若m，n，p成等差数列，则am，an，ap成等比数列．4．在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．5．如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，{an·bn}，，{

3、an

4、}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，

5、q1

6、.6．等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离

7、”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝….思考　在等比数列{an}中，＝________，a5·a11＝________．答案　a7　a解析　由等比数列的性质得a5·a11＝a.a3·a9＝a5·a7，∴＝a7.题型一　等比数列的性质及应用例1　(1)在等比数列{an}中，若a3a6＝9，a2a4a5＝27，则a2的值为(　　)A．2B．3C．4D．9(2)已知公比为q的等比数列{an}中，a5＋a9＝q，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为________．答案　(1)B

8、　(2)解析　(1)因为{an}为等比数列，所以a3a6＝a4a5＝9，又因为a2a4a5＝27，所以a2＝3.(2)∵a5＋a9＝q，∴a4＋a8＝，∴a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a＋a6a10＝a＋2a4a8＋a＝＝.反思与感悟　在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算．若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果．跟踪训练1　(1)在等比数列{an}中，a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则等于(　

9、　)A.B.C.或D．－或－(2)已知数列{an}是等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5＝______．答案　(1)C　(2)5解析　(1)a7·a11＝a4·a14＝6，又a4＋a14＝5，∴或，∴q10＝＝或，＝q10＝或.(2)由a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，即a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝25，∵an＞0，∴a3＋a5＞0，∴a3＋a5＝5.题型二　灵活设项求解等比数列例2　已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－，则此4个数为_____

10、_________________．答案　8，－2，，－或－，，－2，8解析　设此4个数为a，aq，aq2，aq3.则a4q6＝1，aq(1＋q)＝－，①所以a2q3＝±1，当a2q3＝1时，q＞0，代入①式化简可得q2－q＋1＝0，此方程无解；当a2q3＝－1时，q＜0，代入①式化简可得q2＋q＋1＝0，解得q＝－4或q＝－.当q＝－4时，a＝－；当q＝－时，a＝8.所以这4个数为8，－2，，－或－，，－2，8.反思与感悟　灵活设项求解等比数列的技巧(1)三数成等比数列，一般可设为，a，aq；(2)四数成等比数列

11、，一般可设为，，aq，aq3或a，aq，aq2，aq3，但前一种设法的公比为q2(＞0)；(3)五数成等比数列，一般可设为，，a，aq，aq2.跟踪训练2　有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．解　由题意设此四个数为，b，bq，a，则有解得　或所以这四个数为1，－2，4，10或－，－2，－5，－8.题型三　等比数列的实际应用例3　为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2014年底，将当地沙漠绿化了40%，从2015年开始，每年将出现这

12、种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg2＝0.3，最后结果精确到整数)．解　设该地区总面积为1，2014年底绿化面积为a1＝，经过n年后绿洲面积为an＋1，设2014年底沙漠面积为b1，经过n年后沙漠面积为bn＋1，