高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列（1）学案 新人教A版必修.doc

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1、2.4等比数列（1）学习目标　1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．知识点一　等比数列的概念思考　观察下列4个数列，归纳它们的共同特点．①1,2,4,8,16，…；②1，，，，，…；③1,1,1,1，…；④－1,1，－1,1，….答案　从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数．梳理　等比数列的概念和特点．(1)文字定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．(2)递推公式

2、形式的定义：＝q(n>1)(或＝q，n∈N*)．(3)等比数列各项均不能为0.知识点二　等比中项的概念思考　在2,8之间插入一个数，使之成等比数列．这样的实数有几个？答案　设这个数为G.则＝，G2＝16，G＝±4.所以这样的数有2个．梳理　等比中项与等比中项的异同，对比如下表：对比项等差中项等比中项定义若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项定义式A－a＝b－A＝公式A＝G＝±个数a与b的等差中项唯一a与b的等比中项有两个，且互为相反数备注任意两个数a与b都有等差中项只有当ab＞0时，a与b才有等比中项知识

3、点三　等比数列的通项公式思考　等差数列通项公式是如何推导的？你能类比推导首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式吗？答案　等差数列通项公式的推导是借助累加消去中间项，等比数列则可用累乘．根据等比数列的定义得＝q，＝q，＝q，…，＝q(n≥2)．将上面n－1个等式的左、右两边分别相乘，得···…·＝qn－1，化简得＝qn－1，即an＝a1qn－1(n≥2)．当n＝1时，上面的等式也成立．∴an＝a1qn－1(n∈N*)．梳理　等比数列{an}首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1.类型一　证明等比数列例1　已知f(x)＝logmx(m＞0且m≠1)，设f(a1

4、)，f(a2)，…，f(an)，…是首项为4，公差为2的等差数列，求证：数列{an}是等比数列．证明　由题意知f(an)＝4＋2(n－1)＝2n＋2＝logman，∴an＝m2n＋2，∴＝＝m2，∵m＞0且m≠1，∴m2为非零常数，∴数列{an}是等比数列．反思与感悟　判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义，即＝q(与n无关的常数)．跟踪训练1　已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝(an－1)(n∈N*)．(1)求a1，a2；(2)证明：数列{an}是等比数列．(1)解　∵a1＝S1＝(a1－1)，∴a1＝－.又a1＋a2＝S2＝(a2－1)，∴a2＝

5、.(2)证明　∵Sn＝(an－1)，∴Sn＋1＝(an＋1－1)，两式相减得an＋1＝an＋1－an，即an＋1＝－an，∴数列{an}是首项为－，公比为－的等比数列．类型二　等比数列通项公式的应用命题角度1　方程思想例2　一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项．解　设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么②÷①，得q＝，将q＝代入①，得a1＝.因此，a2＝a1q＝×＝8.综上，这个数列的第1项与第2项分别是与8.反思与感悟　已知等比数列{an}的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和

6、q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项．跟踪训练2　在等比数列{an}中．(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.解　(1)由等比数列的通项公式得，a6＝3×(－2)6－1＝－96.(2)设等比数列的公比为q，那么解得所以an＝a1qn－1＝5×2n－1.命题角度2　等比数列的实际应用例3　某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长(精确到1年，放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)解　设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩余量是an，由条

7、件可得，数列{an}是一个等比数列．其中a1＝0.84，q＝0.84，设an＝0.5，则0.84n＝0.5.两边取对数，得nlg0.84＝lg0.5，用计算器算得n≈4.答　这种物质的半衰期大约为4年．反思与感悟　等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a1，项数n所对应的实际含义．跟踪训练3　某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨？(保留到个位，lg6≈0.778，lg1.2≈0.079)解　记该糖厂每年制糖产量依次为a1，a2

8、，a3，…，an，….则