圆中的分类讨论习题.doc

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1、细说圆中的分类讨论题------之两解情况由于圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,还具有旋转不变性,有许多问题需要分类讨论,分类讨论是一种同学们应该掌握并且相当重要的数学思想,对于锻炼同学们的缜密思维和分析问题能力异常的重要,但同学们在遇到分类讨论题时易出现漏解情况,这就要求同学们在解题时一要读懂题意,明白题干的要求,二要有顺序步骤的做。先从几个方面举例说明如下:一、根据点与圆的位置分类例1、点P是圆O所在平面上一定点,点P到圆上的最大距离和最短距离分别为8和2,则该圆的半径为      。分析:根据点和圆的位置关系,这个点P与圆有两种位置关系。分为点在圆内和点在圆外两种情况。解:过点P和圆

2、心O作直线分别与圆O相交于A、B两点。PA、PB分别表示圆上各点到点P的最长距离和最短距离。(1)当点P在圆内时,如图1所示,直径;(2)当点P在圆外时,如图2所示,直径;所以,圆O的直径为2或6。二、三角形与圆心的位置关系例2:已知内接于圆O,,则的度数为________。分析:因点A的位置不确定。所以点A和圆心O可能在BC的同侧,也可能在BC的异侧。也可分析为圆心在的内部和外部两种情况。解:(1)当点A和圆心O在BC的同侧时,如图3,10图3图4(2)当点A和圆心O在BC的异侧时,如图4,所以的度数是或。练习:已知圆内接中,AB=AC,圆心O到BC的距离为3cm,圆的半径为6cm,求腰长

3、AB。(两种情况如图5、图6)图5图6三、角与圆心的位置关系例3:在半径为1的⊙O中,弦AB、AC的长分别为和,则∠BAC的度数是____。分析:角与圆心的位置关系为圆心在角内部和外部两种情况。解:如图7,当圆心在∠BAC内部时,连接AO并延长交⊙O于E在Rt△ABE中,由勾股定理得:,所以∠BAE=30°同理,在Rt△CAE中,EC=AC,所以∠EAC=45°,当圆心O在∠BAC的外部时(∠BAC'),由轴对称性可知:所以∠BAC为75°或15°10四、圆中两平行弦与圆心的位置关系例4.圆O的直径为10cm,弦AB//CD,AB=6cm,,求AB和CD的距离。分析:题中的弦AB、CD都比圆

4、O中的直径小,所以AB和CD可能在圆心的同侧,也可能在圆心的异侧。解:(1)当AB、CD在圆心的同侧时,如图8,过点O作交AB于点M,交CD于N,连结OB、OD,得,,然后由勾股定理求得:,故AB和CD的距离为1cm。(2)当在圆心的异侧时,如图9,仍可求得。故AB和CD的距离为7cm。所以AB和CD的距离为1cm和7cm。五、弦所对的圆周角有两种情况例5:半径为1的圆中有一条弦,如果它的长为,那么这条弦所对的圆周角的度数等于___________。分析:弦所对的圆周角有两种情况:(1)弦所对的圆周角的顶点在优弧上;(2)弦所对的圆周角的顶点在劣弧上。解:故应填60°或120°。练习:一条弦

5、分圆周为3:5两部分,则这条弦所对的圆周角的度数为。六、圆与圆的位置关系10例6、已知圆和圆相内切,圆心距为,圆半径为,求圆的半径。分析:根据两圆相内切的特点:圆心距等于大圆半径减去小圆半径。但该题的条件中没有给定谁是大圆,谁是小圆。这时可把圆看成大圆,也可把圆看成小圆。解:(1)当圆是大圆时,则圆的半径等于大圆半径4cm减去圆心距1cm,求得圆的半径为3cm。(2)当圆是小圆时,则圆的半径等于小圆半径4cm加上圆心距1cm,求得圆的半径为5cm。所以圆的半径是3cm或5cm。例7、两圆相切,半径分别为4cm和6cm,求两圆的圆心距。分析:此题中的两圆相切没有说明是内切还是外切,所以应该分两

6、种情况考虑。解:(1)当两圆内切时,两圆心的距离等于大圆半径减去小圆半径,即。(2)当两圆外切时,两圆心的距离等于大圆半径加上小圆半径,即。所以两圆的圆心距是2cm或10cm。例8、相交两圆半径分别为5cm和4cm,公共弦长6cm,则两圆的圆心距等于_______分析:注意两圆心在公共弦长两侧和同侧两种情况补充:1、弦所对弧的优劣情况不确定10已知横截面直径为100cm的圆形下水道,如果水面宽AB为80cm,求下水道中水的最大深度。20cm或80cm2、如图3,AB是圆O的弦,AC是圆O的切线,,则弦AB所对的圆周角等于__________。分析:因弦AB所对的圆周角的顶点未确定。可能在这个

7、弦切角所夹的弧上,也可能在这个弦切角所夹的弧以外的弧上。解:(1)当这个圆周角的顶点在弦切角所夹的弧上时,求得这个圆周角为。(2)当所求的圆周角的顶点在弦切角所夹的弧以外的弧上时,求得这个圆周角为。所以弦AB所对的圆周角等于或。3、已知圆和圆相内切,圆心距为,圆半径为,求圆的半径。分析:根据两圆相内切的特点:圆心距等于大圆半径减去小圆半径。但该题的条件中没有给定谁是大圆,谁是小圆。这时可把圆看成大圆,也可把圆

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