圆的分类讨论例题及习题.doc

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1、圆中的分类讨论题------之两解情况一、根据点与圆的位置分类例１、点P是圆O所在平面上一定点，点P到圆上的最大距离和最短距离分别为８和２，则该圆的半径为　　　　　　。解：过点P和圆心O作直线分别与圆O相交于A、B两点。PA、PB分别表示圆上各点到点P的最长距离和最短距离。（1）当点P在圆内时，如图1所示，直径；（2）当点P在圆外时，如图2所示，直径；所以，圆O的直径为2或6。练习1：若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则此圆的半径为（）           2：P在⊙O内，距圆心O的距离为4，⊙O半径长为5，经过P点，交于⊙

2、O的弦为整数的有多少条？解：过P点的弦长为整数的最短弦长是6cm（该弦垂直于OP，等于5与4的平方和的平方根的2倍）；最长的是10cm（过O、P的直径）；其间弦长为整数的长度还有7、8、9cm，所以共有8条(其中的7、8、9各有两条，以OP为对称轴）。    3：⊙O的半径为2.5，动点P到定点O的距离为2，动点Q到P的点的距离为1，则点P、Q与⊙O有何位置关系？ 二、弦与弦的位置关系不唯一，需要分类讨论 例1、圆O的直径为10cm，弦AB//CD，AB=6cm，，求AB和CD的距离。解：（1）当AB、CD在圆心的同侧时，如图，过点O作交AB于点M，交C

3、D于N，连结OB、OD，得，，然后由勾股定理求得：，故AB和CD的距离为1cm。（2）当在圆心的异侧时，如图9，仍可求得。故AB和CD的距离为7cm。所以AB和CD的距离为1cm和7cm。      例2、 已知弓形的弦长为8cm，所在圆的半径为5cm，则弓形的高为多少？（2或8cm）            例3、  已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB=2，∠BAC=30°．在图中作弦AD，使AD=1，并求∠CAD的度数．解：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=30°，∴BC=1/2AB=1，∠B=60°以A圆心

4、BC长为半径画弧可得点D，再连接AD即可；∵AD=BC，所以弧BCE=弧ADC∴∠DAB=∠B=60°，∴∠DAC=60°-30°=30°；同理可得：∠D′AC=60°+30°=90°；综上所述：∠CAD的度数为30°或90°         例4、油桶问题：一个横截面为圆的圆柱形油桶，放倒后油面为60cm，其半径为50cm，求油面的最大深度？  两个答案：要考虑油面是否高于半圆，一个是低于半圆，一个是高于半圆。  例5、拱桥问题：某地有一座圆弧形拱桥圆心为O，桥下水面宽度为7.2m，过O作OC⊥AB于D，交圆弧于C，CD=2.4m，现有一艘宽3m，船舱

5、顶部为方形并高出水面AB=2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？三、点在直径上的位置不唯一，需要分类讨论 例1、已知⊙O的直径AB=10cm，弦CD⊥AB于点于点M。若OM：OA=3：5，则弦AC的长为多少？四、点与弦的相对位置时，需要分类讨论 例1：⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D，且∠BOD＝48°，则∠BAC＝_________。 例2：在⊙O中，AB为直径，CD为弦，AB⊥CD，P为圆周上与C、D不重合的任意一点。判断COBÐ与CPDÐ的数量关系，并尝试证明你的结论。五、三角形与圆心的位置关系例1：已知内接于圆O，，则的度数为_

6、_______。分析：因点A的位置不确定。所以点A和圆心O可能在BC的同侧，也可能在BC的异侧。也可分析为圆心在的内部和外部两种情况。解：（1）当点A和圆心O在BC的同侧时，如图3，图3图4（2）当点A和圆心O在BC的异侧时，如图4，所以的度数是或。练习：1、已知圆内接中，AB=AC，圆心O到BC的距离为3cm，圆的半径为6cm,求腰长AB。（两种情况如图5、图6）图5图6例2、△ABC内接于⊙O，AOCÐ=1000，则ACBÐ=                   例 3、△ABC是半径为2cm的园内接三角形，若BC=23cm，则∠A的度数为     

7、      例4、已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长。六、角与圆心的位置关系在圆周角定理的证明中，根据圆心与圆周角的位置关系分为三类加以讨论：（1）圆心在角的一边上；（2）圆心在角的内部；（3）圆心在角的外部。其中，第一种情况是最特殊最容易证明的情况，而其余两种都是转化为第一种情况加以证明的。通过这三种情况的证明概括得出一般性结论。例1、在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为和，则∠BAC的度数是____。分析：角与圆心的位置关系为圆心在角内部和外部两种情况。解：如图7，当圆心在∠BAC内部时，连

8、接AO并延长交⊙O于E在Rt△ABE中，由勾股定理得：,所以∠BAE＝30°同理