圆中的分类讨论习题

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1、细说圆中的分类讨论题------之两解情况钱漪由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性,有许多问题需要分类讨论,分类讨论是一种同学们应该掌握并且相当重要的数学思想，对于锻炼同学们的缜密思维和分析问题能力异常的重要，但同学们在遇到分类讨论题时易出现漏解情况,这就要求同学们在解题时一要读懂题意，明白题干的要求，二要有顺序步骤的做。先从几个方面举例说明如下:一、根据点与圆的位置分类例１、点P是圆O所在平面上一定点，点P到圆上的最大距离和最短距离分别为８和２，则该圆的半径为　　　　　　。分析：根据点和圆的位置关系，这

2、个点P与圆有两种位置关系。分为点在圆内和点在圆外两种情况。解：过点P和圆心O作直线分别与圆O相交于A、B两点。PA、PB分别表示圆上各点到点P的最长距离和最短距离。（1）当点P在圆内时；（2）当点P在圆外时;所以，圆O的直径为2或6。二、三角形与圆心的位置关系例２：已知内接于圆O，，则的度数为________。分析：因点A的位置不确定。所以点A和圆心O可能在BC的同侧，也可能在BC的异侧。也可分析为圆心在的内部和外部两种情况。解：（1）当点A和圆心O在BC的同侧时，如图3，图3图48（2）当点A和圆心O在BC的异侧时，如图4

3、，所以的度数是或。练习：已知圆内接中，AB=AC，圆心O到BC的距离为3cm，圆的半径为6cm,求腰长AB。（两种情况如图5、图6）图5图6三、角与圆心的位置关系例3:在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为和，则∠BAC的度数是____。分析：角与圆心的位置关系为圆心在角内部和外部两种情况。解：如图7，当圆心在∠BAC内部时，连接AO并延长交⊙O于E在Rt△ABE中，由勾股定理得：,所以∠BAE＝30°同理，在Rt△CAE中，EC＝AC，所以∠EAC＝45°，当圆心O在∠BAC的外部时（∠BAC'），由轴对称性可知：所以

4、∠BAC为75°或15°8四、圆中两平行弦与圆心的位置关系例4.圆O的直径为10cm，弦AB//CD，AB=6cm，，求AB和CD的距离。分析：题中的弦AB、CD都比圆O中的直径小，所以AB和CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧。解：（1）当AB、CD在圆心的同侧时，如图8，过点O作交AB于点M，交CD于N，连结OB、OD，得，，然后由勾股定理求得：，故AB和CD的距离为1cm。（2）当在圆心的异侧时，如图9，仍可求得。故AB和CD的距离为7cm。所以AB和CD的距离为1cm和7cm。五、圆与圆的位置关系例5、已知圆和圆

5、相内切，圆心距为，圆半径为，求圆的半径。分析：根据两圆相内切的特点：圆心距等于大圆半径减去小圆半径。但该题的条件中没有给定谁是大圆，谁是小圆。这时可把圆看成大圆，也可把圆看成小圆。解：（1）当圆是大圆时，则圆的半径等于大圆半径4cm减去圆心距1cm，求得圆的半径为3cm。（2）当圆是小圆时，则圆的半径等于小圆半径4cm加上圆心距1cm，求得圆的半径为5cm。8所以圆的半径是3cm或5cm。例6、两圆相切，半径分别为4cm和6cm，求两圆的圆心距。分析：此题中的两圆相切没有说明是内切还是外切，所以应该分两种情况考虑。解：（1）

6、当两圆内切时，两圆心的距离等于大圆半径减去小圆半径，即。（2）当两圆外切时，两圆心的距离等于大圆半径加上小圆半径，即。所以两圆的圆心距是2cm或10cm。例7、相交两圆半径分别为5cm和4cm，公共弦长6cm，则两圆的圆心距等于_______分析：注意两圆心在公共弦长两侧和同侧两种情况补充：1、弦所对弧的优劣情况不确定已知横截面直径为100cm的圆形下水道，如果水面宽AB为80cm，求下水道中水的最大深度。20cm或80cm2、已知圆和圆相内切，圆心距为，圆半径为，求圆的半径。分析：根据两圆相内切的特点：圆心距等于大圆半径减

7、去小圆半径。但该题的条件中没有给定谁是大圆，谁是小圆。这时可把圆看成大圆，也可把圆看成小圆。解：（1）当圆是大圆时，则圆的半径等于大圆半径4cm减去圆心距1cm，求得圆的半径为3cm。8（2）当圆是小圆时，则圆的半径等于小圆半径4cm加上圆心距1cm，求得圆的半径为5cm。所以圆的半径是3cm或5cm。3、相交两圆的半径分别为8和5，公共弦为8，这两个圆的圆心距等于_________。分析：因两圆的半径都大于公共弦长的一半，所以两圆的圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的异侧。解：（1）当两圆的圆心在公共弦的同侧时，如图6

8、，设AB是公共弦，交AB于点C，则，由勾股定理解得，故。图6（2）当两圆的圆心在公共弦的异侧时，如图7，可求得。故。8所以这两圆的圆心距为或。4、如图8，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、B不重合），则∠OAB＝_________