圆中的分类讨论典型例题讲解

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1、圆中的分类讨论一、知识点回顾　　由于圆中的点、线在圆中的位置分布可能有多种情况，经常会导致其答案的不唯一性。如：点与圆的位置关系，点可能在圆内，也可能在圆外；两条弦的位置关系，可能在某一条直径的同侧，也可能在直径的异侧；圆与圆相切，可能外切，也可能内切，等等。因此，求解圆的有关问题时，要注意分类讨论思想。二、典型例题　　一、点与圆的位置关系不唯一性　　例1：若所在⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为（）。分析：P可能在圆内，也可能在圆外。⑴P在圆内时。如图1-1。连接O、P所在的直线

2、交⊙O于A、B。则PA=a，PB=b直径AB=PA+PB=a+b，半径OA=OB=1/2AB=1/2（a+b）⑵P在圆外时。如图1-2。此时直径AB=PA－PB=a－b，半径OA=OB=1/2AB=1/2（a－b）由⑴⑵可知，应选（C）。　二、弦与弦的位置关系不唯一性　例2：⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD之间的距离是（）。（A）7cm（B）8cm（C）7cm或1cm（D1cm　分析：弦AB与CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧。　　⑴弦AB与CD在圆心的同侧。如图2-1。过O作弦AB的

3、垂线，交AB于M，交CD于N。连接OB，OD。∵AB∥CD，OM⊥AB，ON⊥CD由垂径定理，BM=1/2AB=3cm，DN=1/2CD=4cm，又OB=OD=5cm在Rt△BMO中，OM2=OB2-BM2=16cm，求得OM=4，同理ON=3cm∴MN=OM－ON=4－3=1cm⑵弦AB与CD在圆心的异侧。如图2-2。此时，MN=OM+ON=4+3=7cm故选（C）。　例3：如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB=2，AC=√2，在图中画出弦AD，使AD等于1，并求出∠CAD的度数。　分析：弦AC与弦AD可能在直径AB的

4、同侧，可能在直径AB的异侧。　　⑴弦AC与弦AD在直径AB的同侧。如图3-1。连OC、OD。由OC=OD=1/2AB=1，AC=√2　∴OC2+OD2=AC2∴∠AOC=90°，∠CAO=∠ACO=45°又OA=OD=AD，∴∠DAO=60°∴∠DAC=∠DAO－∠CAO=15°⑵弦AC与弦AD在直径AB的异侧。此时，∠DAC=∠DAO+∠CAO=115°　　三、点在直径上的位置不唯一性　　例4：已知⊙O的直径AB=10cm，弦CD⊥AB于点于点M。若OM：OA=3：5，则弦AC的长为多少？　　分析：垂足M可能在半径OA上，也可能在

5、半径OB上。⑴M在半径OA上。如图4-1。连接OC。OC=OA=1/2AB=5cm，又OM：OA=3：5，∴OM=3cm∵AB是直径，弦CD⊥AB∴在Rt△OMC中，MC2=OC2-OM2=16cm，求得MC=4cm又AM=OA－OM=2cm∴在Rt△AMC中，AC2=AM2+MC2=22+42=20（cm），求得：AC=4√5⑵M在半径OB上。如图4-2.此时，AM=OA+OM=8cmAC2=AM2+MC2=82+42=80（cm），求得AC=4√5.　四、弦所对圆周角的不唯一性例5：圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周

6、角为（）。（A）30°或60°（B）60°（C）150°（D）30°或150°　分析：弦（不是直径）所对的弧有两条，一条优弧，一条劣弧，因此，一条弦所对的圆周角也有两个，并且这两个圆周角互补。如图5。劣弧所对的角为∠ACB，优弧所对的角为∠ADB。由AB=0A=OB，∴∠AOB=60°∴∠ACB=1/2∠AOB=30°∠ADB=1/2（360°－∠AOB）=1/2（360°－60°）=150°故选（D）　　五、圆与圆的位置关系不唯一性　　例6．如果两圆相切，两圆的圆心距为8cm，圆A的半径为3cm，则圆B的半径是（）。（A）5cm（

7、B）11cm（C）3cm（D）11cm或5cm　　分析：圆与圆相切，可能是内切，也可能是外切。　　⑴两圆外切。如图6-1。AB=8+3=11cm⑵两圆内切。如图6-2。AB=8－3=5cm故选（D）六、相交圆圆心与公共弦的位置关系不唯一性例7：已知相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长6cm，则这两个圆的圆心距为（）。　分析：两圆圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的异侧。　⑴圆心在公共弦的异侧。如图7-1。连接O1A，O2A。由圆的对称性，O1O2垂直平分公共弦AB。∴AD=1/2AB=3在Rt△AO1D中，O1D=O1A

8、2-AD2=16，O1D2=4在Rt△AO2D中，O2D2=O2A2-AD2=7,O2D=√7∴O1O2=O1D+O2D=4+√7　⑵圆心在公共弦的同侧。如图7-2。　此时，O1O2=O1D－O2D=4－√7故这两个圆的圆心距为4+√