高中数学 2.3《变换的复合与矩阵的乘法》教案 湘教版选修4-2.doc

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1、§2.3变换的复合与矩阵的乘法教学目标:一、知识与技能：通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义；掌握二阶矩阵的乘法法则　，并能运用几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律二、方法与过程借助实例的探究，引入复合变换，寻求二阶矩阵的乘法法则，发现矩阵乘法不满足交换律；通过具体情境的观察、类比、探索、交流和反思等数学活动，培养学生的创新意识，使学生掌握研究问题的方法，从而学会学习体会从具体到抽象再到具体的思想方法。三、情感、态度与价值观新旧知识的联结，潷学生的求知欲及进一点探索的乐趣。教学重点:二阶矩阵乘法法则及运用教学难点：说明矩阵乘法不满足交换律教学过

2、程一、复习引入：1、基本概念（1）二阶矩阵：由四个数，，，排成的正方形数表称为二阶矩阵。特别地，称二阶矩阵为零矩阵，简记为0。称二阶矩阵为二阶单位矩阵，记为。（2）向量：向量（）是一对有序数对，叫做它的两个分量，且称为列向量，（）为行向量。同时，向量、点以及有序实数对三者不加区别。2、几类特殊线性变换及其二阶矩阵（1）线性变换在平面直角坐标系中，把形如（其中，，，-6-用心爱心专心为常数）的几何变换叫做线性变换。（2）旋转变换坐标公式为，变换对应的矩阵为（3）反射变换①关于的反射变换坐标公式为对应的二阶矩阵为；②关于的反射变换坐标公式为对应的二阶矩阵为

3、；③关于的反射变换坐标公式为对应的二阶矩阵为；（4）伸缩变换坐标公式为对应的二阶矩阵为；（5）投影变换①投影在上的变换坐标公式为对应的二阶矩阵为；②投影在上的变换坐标公式为对应的二阶矩阵为（6）切变变换①平行于轴的切变变换坐标公式为对应的二阶矩阵为②平行于轴的切变变换坐标公式为对应的二阶矩阵为3、定理1　设A＝，，，，是实数。则以下公式成立：（1）A（）＝（A）（2）A＋A＝A（＋）-6-用心爱心专心（1）A（＋）＝A＋A4、定理2　可逆的线性变换具有如下性质：（1）直线仍变成直线；（2）将线段仍变成线段　（3）将平行四边形变成平行四边形二、新课讲解例

4、1　设平面上建立了直角坐标系。如图所示，交每个点（）先绕原点䊑　逆时针方向旋转角到（，），再从（，）绕原点䊑　逆时针旋转角到（，）。写出由（）计算（，）的关系式。由（）到（，）的变换能否用矩阵表示？如果能，写出表示这个变换的矩阵。解法一：由旋转变换可知　　　　　　　　　　　　（1）　　　　　　　　　　　　（2）将（1）代入（2），经过整理得因此，从（）到（，）的变换矩阵可以用来表示，它就是绕原点沿逆时针方向旋转角+的变换解法二：先绕原点沿逆时针方向旋转角，再绕原点沿逆时针方向旋转角，总的效果是直接将每个点（）绕原点沿逆时针方向旋转角+到（，），由旋转变

5、换可知，这个变换可以用矩阵来表示一般地，设A，B是平面上的两个变换，将平面上每个点先用变换A变到-6-用心爱心专心，再用变换B将变到，则从到也是平面上的一个变换，称为A，B的复合变换，也称为B与A的乘积，记作BA。注意：为里先施行变换A，后施行变换B，但它们的复合变换要记作BA。原因是：将＝A（）代入＝B（）得到＝B（A（）），因此，写为＝BA（）较为合理，A在B的右边，首先接触，它先作用于得到A（）之后再用B从左边作用于A（）得到BA（）例2、设平面上建立了直角坐标系，变换A，B可分别用A＝和B＝表示将每个点（）先用变换A变到（，），再用变换B将（，

6、）变到（，）。复合变换BA是否能用矩阵表示？如果能，写出变换BA的矩阵解：将代入经过整理得：所以从（）到（，）的变换矩阵BA可以用矩阵表示将变换写成矩阵式＝　　　　　＝得＝＝由此得＝对任意两个2×2矩阵A＝和B＝，我们规定它们的乘积-6-用心爱心专心BA＝按照这规定，假如变换B，A的矩阵分别是B，A，则复合变换BA的矩阵是两变换矩阵的乘积BA。要理解和记忆公式所表示的矩阵乘法法则，先学会行向量（）与列向量的乘法法则：（）＝这个规则就是：将行向量的两个数与列向量的两个数分别对应相乘，再将所得的乘积相加。再来看两个2×2矩阵的乘法规则：将矩阵B＝的第行（＝

7、1，2）与矩阵A＝的第列（＝1，2）、相乘得到一个数，得到的就是矩阵BA的第行第列的数。练习：例3、平面上建立了直角坐标系，直线，经过原点O倾斜角分别是，，设变换A，B分别表示关于直线，的反射变换，求：（1）变换A，B的复合变换BA的矩阵；（2）变换B，A的复合变换AB的矩阵；（3）根据矩阵说明BA，AB是什么变换，这两个变换是否相同。解：（1）设A，B的矩阵分别是A＝，　B＝BA＝＝　这表示绕原点沿逆时针旋转角（2）AB＝＝-6-用心爱心专心这表示绕原点沿逆时针旋转角（3）变换BA与变换AB的旋转角与正好相反，当时，这两个旋转是不相同的，也就是说AB

8、BA这说明：变换的乘法与矩阵的乘法都不满足交换律练习　：计算三、课堂练习1、计算（1）　　　（