高中数学 几何变换与矩阵 2.3 变换的复合与矩阵的乘法章末分层突破学案 苏教版选修.doc

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1、2.3变换的复合与矩阵的乘法一、矩阵的乘法运算矩阵与矩阵的乘法运算是高考考查本章知识的一个重要考点.　已知二阶矩阵M满足M＝，M＝，求M2.【解】　设M＝，由M＝得＝，所以a＝1，c＝0.由M＝得＝，所以b＝1，d＝2.所以M＝.所以M2＝＝.所以M2＝＝.二、矩阵的乘法与变换的复合问题以矩阵乘法为载体考查矩阵变换的有关知识是高考考查的热点.　在平面直角坐标系中，△OAB的顶点O(0，0)，A(2，0)，B(1，)，求△OAB在矩阵MN的作用变换下所得图形的面积，其中M＝，N＝.【导学号：】【解】　MN＝＝＝.又因为＝，＝，＝，所以O，A，B三点在矩阵MN

2、的作用变换下所得点分别为O′(0，0)，A′(2，0)，B′(2，－1)，所以S△O′A′B′＝×2×1＝1.故△OAB在矩阵MN的作用变换下所得图形的面积为1.　已知矩阵A＝，B＝，求抛物线y2＝x经过矩阵AB作用下变换得到的曲线方程.【导学号：】【解】　AB＝＝.在曲线y2＝x上任取一点P(x，y)，它在矩阵AB对应的变换作用下变为P′(x′，y′)，则有＝，即即代入y2＝x，得y′＝x′2，所以曲线y2＝x经过矩阵AB作用下变换得到的曲线方程为y＝x2.三、数形结合思想我们从平面变换的观点引入了二阶矩阵的乘法，矩阵变换是数学中变换的一种方法，利用矩阵

3、的方法实际上是把某些几何图形的变换转化为代数的运算，使具体的问题抽象化，把某些方法进行统一.在解决代数问题时，矩阵方法主要是对运算过程的一种简化，也是对运算本质的一种提炼.因此本章中始终贯穿数形结合的思想.　已知矩形ABCD，其中A(0，0)、B(2，0)、C(2，1)、D(0，1)，将矩形绕原点逆时针旋转90°，再将所得图形作关于y轴的反射变换.(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M；(2)求点A、B、C、D在连续两次变换后所得到的结果；(3)在平面直角坐标系内画出两次对应的几何图形，并验证(2)中的结论.【解】　(1)绕原点逆时针方向旋转90°的变换矩

4、阵为Q＝，而关于y轴的变换矩阵为P＝，则连续两次变换所对应的变换矩阵M由矩阵乘法可得.M＝PQ＝＝.(2)因为＝，＝，＝，＝.所以点A、B、C、D分别变换成点A″(0，0)、B″(0，2)、C″(1，2)、D″(1，0).如图所示.(3)从几何变换角度，先作绕原点逆时针旋转90°的变换T1，再将所得图形作关于y轴的轴反射变换T2，所得结果与(2)一致，如图所示.章末综合检测(三)1.计算：(1)；(2).【解】　(1)＝＝.(2)＝＝.2.已知A＝，B＝，计算AB，并从变换的角度解释.【导学号：】【解】　AB＝＝.AB所对应的变换为复合变换，即由旋转变换和

5、切变变换连续变换得到的.3.已知M＝，A＝，且MN＝A，求二阶矩阵N.【解】　设N＝，则＝＝，∴解得∴N＝.4.设E为二阶单位矩阵，试证明对于任意二阶矩阵M，ME＝EM＝M.【证明】　设M＝，a，b，c，d均为实数，则ME＝＝＝M，EM＝＝＝M.所以等式得证.5.已知A＝，试求A2，A3，并据此猜想An(n∈N*).【导学号：】【解】　因为A＝，所以A2＝＝＝，A3＝＝，所以据此猜想An＝.6.根据如图1所示的变换，你能将其分解为已知的一些变换吗？图1【解】　(1)先施以矩阵对应的关于原点的中心反射变换，再往以矩阵对应的伸压变换得到.(2)先施以矩阵对应的

6、伸压变换，再施以矩阵对应的伸压变换得到.7.已知矩阵A＝，B＝.(1)计算AB，BA；(2)设M＝AB，N＝BA，若矩阵M，N分别把直线l：x＋y＋2＝0变为直线l1，l2，求直线l1，l2的方程.【解】　(1)AB＝＝＝，BA＝＝＝.(2)任取直线l上一点P(x，y)经矩阵M变换后为点P′(x′，y′)，则＝＝，∴，即，把上式代入x＋y＋2＝0得：x′＋y′＋x′＋y′＋2＝0，即x′＋y′＋2＝0，∴直线l1的方程为x＋y＋2＝0，同理可求l2的方程为3x＋7y＋10＝0.8.在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别为A(0，0)，B(1，1)，C(

7、0，2)，求△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积，这里矩阵M＝，N＝.【解】　由题设得MN＝＝.由＝，＝，＝，可知A，B，C三点在矩阵MN作用下变换所得到的点分别是A′(0，0)，B′(1，－1)，C′(0，－2).计算得△A′B′C′的面积为1.所以△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积为1.9.已知矩阵M＝，N＝，且MN＝.(1)求实数a，b，c，d的值；(2)求直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的象.【导学号：】【解】　由题设得，解得：.(2)设直线y＝3x上的任意点(x，y)，在矩阵M所对应的线性变换作用下的象是点(x′，

8、y′)，由＝＝＝得y′＝－x′，即点(x′，y′)必在直线y＝－x