高中数学2.3变换的复合与矩阵的乘法2.3.1矩阵乘法的概念教学案苏教版选修.doc

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1、2．3.1　矩阵乘法的概念1．二阶矩阵乘法法则：＝.2．矩阵乘法MN的几何意义是对向量连续实施两次变换的复合变换．3．矩阵MN对应的复合变换的顺序是先进行矩阵N对应的变换，再进行矩阵M对应的变换．二阶矩阵的乘法[例1]　　(1)已知A＝，B＝，计算AB；(2)已知A＝，B＝，计算AB，BA；并观察AB与BA相等吗？[思路点拨]　直接运用二阶矩阵的乘法法则计算即可．[精解详析]　(1)AB＝＝.(2)AB＝＝，BA＝＝.观察可知，AB≠BA.两个二阶矩阵乘法的结果还是一个二阶矩阵，进行矩阵乘法运算时，必须按矩阵乘法法则依次进行．1．已知A＝，B＝，计算AB，BA.解

2、：AB＝＝；BA＝＝.2.(1)已知A＝，B＝，C＝，计算AB，AC；(2)已知A＝，B＝，计算A2，B2.解：(1)AB＝＝，AC＝＝.(2)A2＝＝，B2＝＝.矩阵乘法的几何意义[例2]　已知矩阵M＝，N＝.(1)若对平面上的图形F先实施TM变换，再把所得的图形实施TN变换，得到图形F′，那么F与F′有什么关系？(2)计算NM，若对平面上的图形F实施TNM变换，得到图形F0，那么F与F0什么关系？(3)根据(1)(2)，说明由矩阵NM确定的变换的几何意义．[思路点拨]　先由对称变换确定F与F′的关系，再通过计算NM确定F与F0的关系，由上述关系即可说明由NM确

3、定的变换的几何意义．[精解详析]　(1)变换TM把平面上的图形F变换成与F关于x轴对称的图形F1，变换TN把平面上的图形F1变换成与F1关于y轴对称的图形F′，所以F与F′关于原点对称．(2)NM＝，变换TNM是把平面上的图形F变换成与F关于原点对称的图形F0.(3)由(1)(2)知，把平面上的图形F先实施TM变换，再把所得的图形实施TN变换，与把平面上的图形F实施TNM的结果相同．这也就验证了矩阵乘法NM的几何意义：“对图形连续实施两次变换(先TM后TN)的复合变换”的结论．矩阵MN的几何意义是对向量连续实施的两次变换(先N再M)的复合变换，进行复合变换时，一定

4、要注意先后顺序，顺序不同，所得变换结果就可能不同．3．已知M1＝，M2＝，试求M2M1并对其几何意义给予解释．解：M2M1＝＝.矩阵M1和M2分别表示把平面上的点向x轴垂直压缩为原来的和，利用M1和M2对平面上的点连续作两次变换即先压缩为原来的，再压缩为实际上连续完成这两个变换，变换的结果可以用一个变换来表示，即矩阵N＝对应的变换．4．已知矩形ABCD，其中点A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，D(0,1)，先将矩形绕原点逆时针旋转90°，再将所得图形作关于y轴的反射变换．(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M；(2)求点A，B，C，D在连续两次变换后所得到

5、的结果；(3)在平面直角坐标系内画出两次对应的几何图形，并验证(2)中的结论．解：(1)绕原点逆时针方向旋转90°的变换矩阵为Q＝，而关于y轴的变换矩阵P＝，则连续两次变换所对应的变换矩阵M由矩阵乘法可得．M＝PQ＝＝.(2)因为＝，＝，＝，＝，所以点A，B，C，D分别变换成点A″(0,0)，B″(0,2)，C″(1,2)，D″(1,0)．(3)从几何变换角度，先作绕原点逆时针旋转90°的变换T1，再将所得图形作关于y轴的轴反射变换T2，所得结果与(2)一致，如图所示．求曲线在复合变换后的解析式[例3]　试求曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M＝，

6、N＝.[思路点拨]　本题先求矩阵M、N的积，再利用矩阵变换求曲线y＝sinx在MN变换下的解析式．[精解详析]　MN＝＝，即在矩阵MN变换下→＝，则y′＝sin2x′，即曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的函数解析式为y＝2sin2x.此类题目是对曲线进行两次或两次以上的变换，可先求出两次或两次以上的变换的复合变换，即先求矩阵M、N、…的积，再对曲线进行变换．5．已知圆C：x2＋y2＝1，先将圆C作关于矩阵P＝的线性变换，再将所得的图形绕原点逆时针旋转90°，求所得的曲线方程．解：绕原点逆时针旋转90°的变换矩阵Q＝，则M＝QP＝＝，设A(x，y)为圆C上任意一点，

7、在矩阵M对应的变换作用下变为A′(x′，y′)则＝＝.∴∴又点A在曲线x2＋y2＝1上，∴(y′)2＋2＝1，即＋y′2＝1.故所求曲线方程为＋y2＝1.6．已知曲线C1：x2＋y2＝1，对它先作矩阵A＝对应的变换，再作矩阵B＝对应的变换，得到曲线C2：＋y2＝1，求实数b的值．解：从曲线C1得到曲线C2的变换对应的矩阵为BA＝＝，在曲线C1上任意选一点P(x0，y0)，设它在矩阵BA对应的变换作用下变为P′(x′，y′)，则有＝，即＝，所以即代入曲线C1方程，得y′2＋2＝1，即曲线C2的方程为2x2＋y2＝1，即2＝，故b＝±1.1．已知A＝，B＝，分别计算A

8、B和BA.