2019-2020年高中数学2.3变换的复合与矩阵的乘法2.3.2矩阵乘法的简单性质教学案苏教版选修4

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1、2019-2020年高中数学2.3变换的复合与矩阵的乘法2.3.2矩阵乘法的简单性质教学案苏教版选修41．矩阵的乘法只具有结合律，即(AB)C＝A(BC)，不满足交换律和消去律，即AB≠BA，若AB＝AC，则一般情况下B≠C.2．二阶矩阵的幂Mn＝矩阵乘法的性质[例1]　　(1)设A＝，B＝，验证：若AB≠BA，则(AB)2≠A2B2；(2)求证：当AB＝BA时，(AB)2＝A2B2，(其中A、B均为二阶矩阵)．[思路点拨]　(1)利用矩阵乘法法则直接验证；(2)依据条件，利用矩阵的乘法具有结合律进行验证．[精解详析]　(1)AB＝＝，BA＝＝，∴AB≠BA.A2＝＝＝，B2＝＝＝

2、，∴A2B2＝＝.又∵(AB)2＝＝＝，∴(AB)2≠A2B2.故若AB≠BA，则(AB)2≠A2B2.(2)∵AB＝BA，∴(AB)2＝(AB)(AB)＝A(BA)B＝A(AB)B＝(AA)(BB)＝A2B2.(1)矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律．(2)根据矩阵乘法满足结合律可知，多个矩阵相乘时，无论先进行哪两个相邻矩阵的乘积均不影响最终结果．1．计算.解：原式＝＝＝.2．设A＝，B＝，C＝，求A(BC)和(AB)C，并判断它们是否满足结合律．解：因为BC＝＝，AB＝＝，所以A(BC)＝＝，(AB)C＝＝.显然，有A(BC)＝(AB)C.因此满足结合律.二阶矩阵的幂运

3、算[例2]　设A＝，求A2，A3，猜想An(n∈N*)并证明你的猜想．[思路点拨]　先利用矩阵乘法法则求A2、A3，猜想An，然后用数学归纳法证明．[精解详析]　A2＝＝，A3＝A2A＝＝，猜想An＝其中n∈N*，n≥2.下面用数学归纳法证之：(1)当n＝2时，由以上计算可知猜想成立．(2)假设n＝k时猜想成立，即Ak＝.当n＝k＋1时，Ak＋1＝Ak·A＝＝，故n＝k＋1时猜想也成立．由(1)和(2)可知，对任意n∈N*(n≥2)，都有An＝.求矩阵具体数幂的运算可依据Mn＝　求解．若求矩阵一般字母幂的运算可利用数学归纳法求之．3．计算4.解：4＝＝＝＝.4．已知A＝，求A2，A

4、3，并据此猜想An(n≥2，n∈N*)，并加以证明．解：A2＝＝＝.A3＝A2·A＝＝＝.据此猜想An＝.下面用数学归纳法证明：(1)由以上可知当n＝2时，猜想成立．(2)假设n＝k(k≥2)时，猜想成立．即Ak＝.当n＝k＋1时，Ak＋1＝Ak·A＝＝＝.即n＝k＋1时，命题也成立．由(1)(2)可知对一切n≥2，n∈N*都有An＝.1．已知A＝，B＝，C＝，计算AB，AC.解：AB＝＝，AC＝＝.2．已知矩阵A＝，求A4，A5，A9.解：因为A2＝＝，所以A4＝A2·A2＝＝，A5＝A·A4＝＝.A9＝A4·A5＝＝.3．求使等式＝M成立的二阶矩阵M.解：设M＝，则M＝＝＝.∴

5、∴a＝1，b＝－2，c＝3，d＝－5.∴M＝.4．(1)构造两个矩阵A，B，使它们不满足AB＝BA；(2)构造两个矩阵A，B(A，B均不为零矩阵)，使AB＝成立；(3)构造一个矩阵A(A既不是零矩阵，也不是单位矩阵)，使A2＝A成立；(4)构造一个矩阵B(B不是零矩阵)，使得B2＝成立．解：(1)如A＝，B＝；(2)如A＝，B＝；(3)如A＝；(4)如B＝.5．设数列{an}，{bn}满足an＋1＝2an＋3bn，bn＋1＝2bn，且满足＝M，试求二阶矩阵M.解：由题意得＝，令A＝，则＝＝＝A2.∴＝A4，∴M＝A4.∵A2＝＝，∴M＝A4＝(A2)2＝＝.6．设M＝，求Mn(n∈

6、N*)．解：M2＝＝.M3＝MM2＝＝.由此猜想Mn＝.下面用数学归纳法证明．(1)n＝1时显然成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时成立，即k＝.则当n＝k＋1时，Mk＋1＝M·Mk＝＝.故n＝k＋1时也成立．∴n为正整数时，结论都成立．故Mn＝(n∈N*)．7．矩阵M＝，N＝，向量α＝.(1)验证：(MN)α＝M(Nα)；(2)验证这两个矩阵不满足：MN＝NM.证明：(1)因为MN＝＝，所以(MN)α＝＝.因为Nα＝＝，所以M(Nα)＝＝.故(MN)α＝M(Nα)．(2)因为NM＝＝，又MN＝，所以MN≠NM.8．求满足A2＝A的一切的二阶矩阵．解：设A＝，∵A2＝A，∴

7、＝.∴a2＋bc＝a①ab＋bd＝b②ac＋cd＝c③bc＋d2＝d④由②③得(c＋d－1)b＝0，(a＋d－1)c＝0.(1)当a＋d－1＝0时，由①得a＝，由④得d＝.故A如下或其中b、c为任意实数且bc≤.(2)当a＋d－1≠0时，则c＝0且b＝0，再由①④得a＝0或1，d＝0或1，但又由a＋d－1≠0，∴a＝d＝0或a＝d＝1.此时有A＝或A＝.故满足A2＝A的二阶方阵为或及或(其中b、c为任意实数且bc≤)．