高中数学 几何变换与矩阵 2.5 特征值与特征向量章末分层突破学案 苏教版选修.doc

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1、2.5特征值与特征向量一、矩阵的特征值与特征向量的求解与应用设A＝是一个二阶矩阵，λ是矩阵A的一个特征值，α是属于λ的一个特征向量.欲求λ及α，可令A的特征多项式等于0，即可求出λ的值，将λ的值代入方程组得到一组非零解，即为矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量.　求矩阵M＝的特征值及其对应的特征向量.【解】　矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)(λ－1)－4＝λ2－2λ－3.令f(λ)＝0，得矩阵M的特征值为－1和3.当λ＝－1时，联立，解得x＋y＝0所以矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为.当λ＝3时，联立，解得x＝y所以矩阵M的属于特征值3的一个特

2、征向量为.二、Anα的表示(计算)设λ1，λ2是二阶矩阵M的两个不同特征值，矩阵M的属于特征值λ1，λ2的特征向量分别为α1，α2，则平面上任一非零向量β可表示为β＝sα1＋tα2(其中s，t为实数)，则Mnβ＝Mn(sα1＋tα2)＝sλα1＋tλα2(n∈N*).　若矩阵A有特征值λ1＝2，λ2＝－1，它们所对应的特征向量分别为α1＝，α2＝.(1)求矩阵A和其逆矩阵A－1；(2)已知α＝，试求A100α.【解】　(1)设矩阵A＝，其特征多项式为f(λ)＝.∵当λ1＝2时，其特征向量为α1＝，∴∴同理当λ2＝－1时，其特征向量为α2＝，∴∴∴A＝，det

3、(A)＝－2，∴A－1＝－＝.(2)设α＝sα1＋tα2，则＝s＋t，∴s＝1，t＝16.∴A100α＝1×2100×＋16×(－1)100×＝＋＝.三、函数方程思想的应用本章不论是由矩阵求特征值，还是已知矩阵的特征值与特征向量求该矩阵，都需要解方程(组)或构建方程(组)求解.　已知二阶矩阵A的属于特征值－3的一个特征向量为，属于特征值8的一个特征向量为，求矩阵A.【导学号：】【解】　设A＝，由题意知＝－3，＝8，即解得∴A＝.章末综合检测(五)1.求矩阵M＝的特征值和特征向量.【解】　矩阵M的特征多项式f(λ)＝＝(λ＋1)(λ－6).令f(λ)＝0，解得

4、矩阵M的特征值λ1＝－1，λ2＝6.将λ1＝－1代入方程组易求得为属于λ1＝－1的一个特征向量.将λ2＝6代入方程组易求得为属于λ2＝6的一个特征向量.综上所述，M＝的特征值为λ1＝－1，λ2＝6，属于λ1＝－1的一个特征向量为，属于λ2＝6的一个特征向量为.2.已知矩阵M＝的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量.【导学号：】【解】　矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)(λ－x)－4因为λ1＝3为方程f(λ)＝0的一根，所以x＝1由(λ－1)(λ－1)－4＝0得λ2＝－1，设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝，则由得x＝－y令x＝1，则

5、y＝－1.所以矩阵M的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝.3.已知矩阵M＝，向量α＝，β＝.(1)求向量2α＋3β在矩阵M表示的变换作用下的象；(2)向量γ＝是矩阵M的特征向量吗？为什么？【解】　(1)因为2α＋3β＝2＋3＝，所以M(2α＋3β)＝＝，所以向量2α＋3β在矩阵M表示的变换作用下的象为.(2)向量γ＝不是矩阵M的特征向量.理由如下：Mγ＝＝，向量与向量γ＝不共线，所以向量γ＝不是矩阵M的特征向量.4.已知矩阵A＝，设向量β＝，试计算A5β的值.【解】　矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－5λ＋6＝0，解得λ1＝2，λ2＝3.当λ1

6、＝2时，得α1＝；当λ2＝3时，得α2＝，由β＝mα1＋nα2，得，得m＝3，n＝1，∴A5β＝A5(3α1＋α2)＝3(A5α1)＋A5α2＝3(λα1)＋λα2＝3×25＋35＝.5.已知矩阵A＝，其中a∈R，若点P(1，1)在矩阵A的变换下得到点P′(0，－3)(1)求实数a的值；(2)求矩阵A的特征值及特征向量.【解】　(1)∵＝，∴＝，∴a＝－4.(2)∵A＝，∴f(λ)＝＝λ2－2λ－3.令f(λ)＝0，得λ1＝－1，λ2＝3，对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组得一个非零解，因此α1＝是矩阵A的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量.对于特征值

7、λ2＝3，解相应的线性方程组得一个非零解，因此α2＝是矩阵A的属于特征值λ2＝3的一个特征向量.∴矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝3，属于特征值λ1＝－1，λ2＝3的特征向量分别为，.6.已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量α1＝，属于特征值1的一个特征向量α2＝，求矩阵A，并写出A的逆矩阵.【解】　由矩阵A属于特征值6的一个特征向量α1＝，可知＝6，所以c＋d＝6，①由矩阵A属于特征值1的一个特征向量α2＝，可知＝，所以3c－2d＝－2.②联立①②可得解得即A＝，A的逆矩阵A－1＝.7.已知矩阵A对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不

8、变，纵坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针