矢量分析简介.doc

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1、天津大学电子信息工程学院二零一四年目录一、标量场和矢量场1二、矢量的通量散度6三、矢量的环流旋度9四、标量场的梯度12五、亥姆霍兹定理15小结16习题18附录1电磁场与电磁波主要物理量符号和单位20附录2重要的矢量公式24一、标量场和矢量场一、标量场和矢量场物理量场的概念是指，在空间区域的每一点，都有该物理量确定的值与之对应。即物理量数值的无穷集合表示一种场。如果此物理量为标量（一个仅用数值就可以表示的物理量，如温度），这种场就称为标量场，如温度场、密度场、电位场等。如果此物理量为矢量（需要用数值及方向表示的物理量，如速度），这种场就称为矢量场，如速度场、力场、电磁场等。仅

2、与空间有关的场，称为静态场；与空间、时间都相关的场，称为动态场。矢量：可以用一段有向线段来表示，如图1-1所示，记为，为的模。线段长度表示模的大小，箭头是的方向。图1-1矢量表示单位矢量：用来表示矢量的方向，记为，其模为1，即：（1-1）三种常用的坐标系：27一、标量场和矢量场圆柱坐标系、球坐标系对应的自变量与三个矢量方向关系，分别如图1-2、图1-3所示。图1-2圆柱坐标系参量示意图图1-3球坐标系参量示意图位置矢量：从坐标原点指向空间位置点的矢量，记为。对直角坐标系有。与空间位置点有着一一对应的关系，即空间位置点可以用位置矢量表示。三维空间的矢量场可以分解为三个分量场，

3、。27一、标量场和矢量场其中为标量场。矢量的乘法分为矢量的标积和矢量的矢积。矢量的标积结果为标量，计算公式为：（1-2）其中为矢量和的夹角。矢量的矢积结果为矢量，计算公式为：（1-3）其中为矢量和的夹角。场图：研究标量场和矢量场在空间逐点演变情况的直观方法。对于标量场，通常用等值线或等值面来表示，即标量场内物理量相等的点集合形成的线或面，如图1-4所示。若标量场为，令，即可求得等值线或等值面。图1-4标量场的等值面图1-5矢量场的力线27一、标量场和矢量场对于矢量场则常用力线（也称为场线）来表示场图，即矢量场中一簇空间有向曲线，如图1-5所示。矢量场的大小用力线的疏密程度表

4、示，力线稠密矢量场就大，反之力线稀疏处则矢量场就小。力线图曲线上每一点的切线方向为此处矢量场的方向。矢量场的力线可以通过微分方程求得。设为力线上某一点的切向微分矢量，为该点的矢量，由于该点的矢量方向即为该点的切向方向，即与同向，故满足：（1-4）对直角坐标系，有，，代入上式可推得：（1-5）解此微分方程即可求得力线图。例1-1有一个二维矢量场求：力线方程，绘制场图。解：本题，由（1-5）式可知，，即，两边同时积分，整理得其中c为常数。即力线方程为圆方程。27一、标量场和矢量场再观察矢量的特点，有则其中为与轴夹角，为与轴夹角。即的大小与圆的半径成正比，的方向如图1-6所示，场

5、图如图1-7所示。图1-6矢量场的力线方向图1-7矢量场的场图27二、矢量的通量散度二、矢量的通量散度1、面元矢量：，，为面积微分单元，简称面积元，为面元的单位矢量。面元方向的定义：对于由一条闭合曲线围城的开表面，当该曲线环绕方向确定后，采用右手螺旋法则确定面元方向。即右手的四指（除拇指之外）沿着曲线环绕方向进行环绕，此时拇指方向即为面元方向。如图2-1所示。对于闭合面，其面元方向定义为外法线方向，如图2-2所示。图2-1开表面面元方向图2-2闭合面面元方向2、通量：矢量垂直穿过一个曲面的总量。（2-1）其中为矢量与的夹角。通量是标量。穿过任意闭合面上的通量有特殊意义：27

6、二、矢量的通量散度3、散度：研究矢量场在一个点附近的通量特性。表示从该点单位体积内散发出来的通量，表征通量源强度，又称散度源（称矢量场通量源）。（2-2）与大小形状无关，与沿空间位置变化有关。（2-3）直角坐标系下：（2-4）圆柱坐标系下：（2-5）球坐标系下：（2-6）引入拉梅系数可使三种坐标系的矢量散度公式用统一表达式描述。表2-1三种坐标系的拉梅系数坐标系拉梅系数直角坐标系111圆柱坐标系11球坐标系127二、矢量的通量散度用拉梅系数表示的矢量散度表达式：（2-7）式中、、对应不同坐标系的三个自变量，例如，直角坐标系是，圆柱坐标系是，球坐标系是。将对应的坐标系的拉梅系

7、数及自变量代入上式，即可以得到相应坐标系的散度公式。4、散度定理(又称高斯公式）：（2-8）即矢量散度的体积分等于矢量的闭合面积分，揭示了散度与通量关系。例2-1：矢量场，计算穿过一个球心为坐标原点、半径为的球面的通量，并求散度。解：采用球坐标采用球坐标采用直角坐标由计算结果可以看到，值与坐标系无关。27三、矢量的环流旋度三、矢量的环流旋度1、线积分：（3-1）其中线元矢量，。2、环流：矢量沿闭合曲线的线积分（3-2）环流是描述矢量场漩涡源的物理量。若为流体速度矢量，则有：3、旋度：环流的面密度，表征每个点附近的环