矢量分析简介

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1、天津大学电子借良工程学院二零IU——、标量场和矢量场1二、矢量的通量散度6三、矢量的环流旋度9四、标量场的梯度12五、亥姆霍兹定理15小结16习题18附录1电磁场与电磁波主要物理量符号和单位20附录2重要的矢量公式24、标量场和矢量场物理聚场的概念是指，在空间区域的每一点，都有该物理量确定的值与之对应。即物理最数值的无穷集合表示-•种场。如果此物理最为标最（一个仅用数值就可以表示的物理量，如温度），这种场就称为标量场，如温度场、密度场、电位场等。如果此物理量为矢量（需要用数值及方向表示的物理最，如速度），这种场就称为矢量场，如速度场、力场、电磁场等。仅与空间有关的场，称为静态场；与空间、时间都

2、相关的场，称为动态场。矢量：可以用一段有向线段来表示，如图所示，记为刁，A为4的模。线段长度表示模的大小，箭头是2的方向。图1-1矢暈表示(1-1)x,y,z;x,)，,Z0Z；T,(pyzr,&(pr,<9,(p单位矢量：用来表示矢量的方向，记为A,其模为1,即:A=A/A=A/AA=AA三种常用的坐标系:頁角坐标系正交坐标系•圆柱坐标系球坐标系圆柱坐标系、球坐标系对应的自变量与三个矢量方向关系，分别如图1-2.图"所示。图1-2関柱坐标系参量示怠图图球处标系参暈示意图位置矢量：从坐标原点指向空间位置点的矢量，记为戸。对直角坐标系有”=xx+yy+zzoF与空间位置点（x,”z）冇着对应

3、的关系，即空间位置点（x,y,z）可以用位置矢最产表示。三维空间的矢量场可以分解为三个分量场，F（r）=xFx（r）+yFv（r）+zFc（F）0其中代（“、耳⑺、巴（“为标量场。矢量的乘法分为矢量的标积和矢量的矢积。矢量的标积结果为标量，计算公式为：A^B=ABcos&^（Axx+Ayy+A：z）（Bxx+Byy+Bzz）（1-2）=AxBx+4'B）,+其中&为矢量兀和万的夹角。欠量的欠积结果为欠量，计算公式为:AxB=C=ABsin0c=(a&+/iv$+心)x(乞;+xyz&B*ByBz(1-3)兀(AyBz-AzBy)^y(AzBx-AxBz)^z(AxBy-AyBx)英中&为矢虽2

4、和万的夹角。场图：研究标屋场和矢虽场在空间逐点演变情况的直观方法。对于标量场，通常用等值线或等值面來表示，即标量场内物理量相等的点集合形成的线或面，如图1-4所示。若标虽场为①（?）,令O（f）=常数，即可求得等值线或等值面。图1-4标量场的等值面图1-5矢量场的力线~~对于矢最场则常用力线（也称为场线）來表示场图，即矢量场中一簇空间有向Illi线，如图1-5所示。矢量场的人小川力线的疏密程度表示，力线稠密矢量场就人，反之力线稀疏处则矢量场就小。力线图Illi线上每一点的切线方向为此处矢量场的方向。矢量场的力线可以通过微分方程求得。设dF为力线上某一点的切向微分矢量，尸（F）为该点的矢量，由于

5、该点的矢量方向即为该点的切向方向，即乔与尸（可同向，故满足:(1-4)t/fxF(f)=O对肓角坐标系，^dr=xdx+ycly+zJz,F(r)=xFx(F)+yFx(?)+ZE(r),代入上式可推得:(1-5)dx_dy_dz解此微分方程即可求得力线图。例i-i有一个二维矢量场戸（广）=戸（兀,y）=x（-刃+y（兀）求：力线方程，绘制场图。解：木题Fx=-y,Fv=x,由(1-5)式可知，dxdy即壬d,-xdx=ydyy*两边同时积分，整理得X2+y2=c2其屮c为常数。即力线方程为圆方程。再观察欠量尸(;)的特点，冇二｛町+打=J(_y『+x2=rF(r)=x(一y)+歹(-^)=F

6、(r)F=rF7/y(、y=x+y—=-X+y—

7、方向进行坏绕，此时拇指方向即为面元方向。如图2-1所示。对于闭合面，其面元方向定义为外法线方向，如图2-2所示。图2-2闭合面面元方向图2-1开表面而元方向2、通量：欠量垂直穿过一个曲血的总量。(2-1)[A(r)<(r)=[2•川dS=

8、Acos0dS其中&为矢量：与瓜的夹角。通量是标量。穿过任意闭合面上的通虽冇特殊意义：若怎为流体的流速矢量>0,有净流量流出，体积内有“源”fA（r）=J$A（