极矢量和轴矢量简介

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1、极矢量和轴矢量简介一.操作改变系统的时空位置叫操作。3类基本空间操作：（1）平移操作：系统平移一段距离（2）转动操作：系统绕固定轴转个角度（3）镜像操作：系统对某平面作镜像反射对系统进行操作可等价用坐标系变换描述。这里只讨论无形变的刚性操作或坐标系变换，其中(2)、(3)类操作中原点不动（转轴或反射面通过原点），属于刚性正交变换。操作用坐标系变换描述的等价性主动描述：被动描述：Δabc正转θ角坐标系xOy逆转θ角yyyθxaθaa等价bOxOxbcbcc二.对称操作和对称性对系统实施（平移、旋转、镜像…）操作后，如果系统的时空位置或状态不变，则：•该操作称为（平移、旋转、镜

2、像…）对称操作•系统具有相应于该操作的（平移、旋转、镜像…）对称性•相应的轴和反射面分别称为旋转对称轴和镜面注意：讨论对称性时，要考虑实际的物质如电荷、电流等的分布，不能只考虑系统几何形状。例：电荷均匀分布的无穷长圆柱体的对称性•绕z轴正反转动任意一个角度保持不z变的旋转对称性，z轴是旋转对称轴σ//•对通过z轴的任意平面σ、对垂直//于z轴的任意平面σ的镜像对称性，⊥σ⊥σ//和σ⊥是镜面•沿z轴正反方向任意平移一段距离保持不变的平移对称性如果换成沿z轴均匀分布的电流，结果如何？三.极矢量和轴矢量根据在镜象操作下的变换性质，把物理学中的矢量分成极矢量和轴矢量。1.极矢量在

3、镜象操作下，垂直反射面的分量反向，平行反射面的分量不变。（不证明）rrr如：位矢r,速度v,加速度a,rr电场强度E,电位移矢量D...极矢量在镜像操作下的变换rrrrE(P′)E//(P′)E//(P)E(P)rrE(P)E(P′)P′P⊥⊥反射面场点P在镜象操作下变为P′rrrrE(P)=−E(P′)E(P)=E(P′)⊥⊥////2.轴矢量（赝矢量）在镜象操作下，垂直反射面的分量不变，平行反射面的分量反向。（不证明）rrr如：角速度ω,角动量L,磁感应强度B,r磁场强度H...可证明：极矢量×极矢量的结果是轴矢量轴矢量在镜像操作下的变换rrB(P)//B(P)rP′B

4、⊥(P′)rB(P)P⊥rrB(P′)B(P′)//反射面场点P在镜象操作下变为P′rrrrB(P)=B(P′)B(P)=−B(P′)⊥⊥////重要问题：对于反射面上的点，其极矢量和轴矢量应满足什么条件？对于反射面上的点P，其镜象点P′与自身重合，即该点在镜像操作下不动：P′P反射面故其处极矢量或轴矢量在镜像操作后不变！要想如此，该处极矢量或轴矢量必须满足：•对极矢量，只能有平行分量（面内分量）•对轴矢量，只能有垂直分量rrE//(P′)E//(P)rB(P)⊥rP′PB(P′)⊥反射面四.对称性在求解电磁学问题中的应用利用电荷或电流在空间分布的对称性，z以及极矢量和轴矢

5、量在镜象操作下的变换性质，可以判定电场或σ//磁场的函数形式例：判定电荷均匀分布的无穷长σ⊥圆柱体产生的电场特点解：空间任一点同属于镜面σ、σ//⊥则电场方向只能沿径向（柱坐标系）：rr∴E=E(r,θ,z)erz轴是转动任意角度的旋转对称轴，则：rrz∴E=E(r,z)er沿z轴正反方向的任意平移不变性：σ//rr∴E=E(r)eσ⊥r