矢量分析复习

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1、第一章矢量分析1.1场的概念和表示法一、矢量与矢量场标量与矢量标量：只有大小，没有方向的物理量（温度，高度等）矢量：既有大小，又有方向的物理量（力，电、磁场强度）矢量的表示方式注：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如。教材上符号即为印刷体。矢量可表示为：其中为其模值，表征矢量的大小；为其单位矢量，表征矢量的方向；矢量的运算则：说明：矢量间不存在除法运算。标量场与矢量场按物理量的性质标量场物理量为标量（温度场,电位场）矢量场物理量为矢量（电场、磁场）场概念的引入：物理量（如温度、电场、磁场）在空间中以某

2、种形式分布，若每一时刻每个位置该物理量都有一个确定的值，则称在该空间中确定了该物理量的场。按物理量变化特性静态场物理量不随时间的变化而变化时变场（动态场）物理量随时间的变化而变化场的分类：1.2.1标量场的等值面设有一个标量场，这里，我们假设是连续函数。若令C为任意常数，随着C的取值不同，方程给出一组曲面。如图所示。在曲面上的各点，虽然坐标不同，但函数值相等，这样的曲面称为的等值面。例如，温度场中的等温面，密度场中的等密度面，电场中的等电位面等。方程称为等值面方程。1.2标量场的梯度1.2.2标量场的

3、方向导数梯度设两相邻等值面分别为和且,如图所示。为等值面上的一定点，根据偏导数的定义可以写出：为邻域内的任一点，就称函数在点沿方向的方向导数。方向导数是函数在给定点沿某一方向的距离的变化率.函数沿方向增大;函数沿方向减小;函数沿方向不变化.根据微分定义:而:显然:可以表示成与矢量的标量积,即:为函数在这一点的梯度,（3）梯度的物理意义梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向.梯度的大小为该点标量函数f的最大变化率，即该点最大方向导数；标量场的梯度是一个矢量

4、；例1电位场的梯度电位场的梯度与过该点的等位线垂直；指向电位减少的方向。数值等于该点的最大方向导数；电位场的梯度直角坐标系哈密顿算符表示为:柱坐标系和球坐标系哈密顿算符:解：=？例1：BABA例题2：空间两点的位矢可以表示为，如图所示，其中和为B，A两点的位置矢量，证明以,为变量时的梯度和以为变量时的梯度之间有BA解：在直角坐标系中，有：同理即证明：1.3矢量场的通量和散度1.3.1矢量场的通量将曲面的一个面元用矢量dS来表示，其方向取为面元的法线方向，其大小为dS，即n是面元法线方向的单位矢量。n的

5、指向有两种情况：对开曲面上的面元，设这个开曲面是由封闭曲线L所围成的，则选定绕行L的方向后，沿绕行方向按右手螺旋的拇指方向就是n的方向，如图(a)所示；在矢量场中,任取一个面元矢量,矢量场穿过的通量定义为:对封闭曲面上的面元，n取为封闭曲面的外法线方向如图(b)所示；将曲面S各面元上的A·dS相加，它表示矢量场A穿过整个曲面S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分：如果曲面是一个封闭曲面，则物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。通过闭合面S的通量的物理意义:若，闭合面内有产生矢量线的正源若，

6、闭合面内有吸收矢量线的负源若，闭合面内无源(正源)负源)(无源）1.3.2矢量场的散度1.散度的定义在场空间中任意点M处作一个闭合曲面，所围的体积为，则定义场矢量在M点处的散度为：2.散度的物理意义:矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性矢量场的散度是一个标量矢量场的散度是空间坐标的函数矢量场的散度值表征空间中通量源的密度若，则该矢量场称为有源场，为源密度若处处成立，则该矢量场称为无源场讨论：在矢量场中，(正源)负源)(无源）哈密顿算符3.散度的计算:直角坐标系下：圆柱坐标系下：球面坐标系下：例

7、题：求求1.3.3高斯散度定理该公式表明了矢量场的散度在体积V内的积分等于矢量场在限定该体积的边界面S上的积分（通量）。散度定理的证明1.5矢量场的环流和旋度在矢量场中,任选一闭合曲线C,将在闭合曲线C上的线积分定义为在C的环流:环流意义：若矢量场环流不为零，则回路所围面积中存在产生矢量场的漩涡源。在直角坐标系中：讨论：1.5.1矢量场的环流1.5.2矢量场的旋度在矢量场中,在过M点的旋涡面上做闭合曲线C围成矢量面元,则定义场矢量在M点处的散度为：1.旋度的定义:矢量场的环量给出了矢量场与积分回路所围

8、曲面内旋涡源的宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，我们将引入旋度。2.旋度的物理意义矢量的旋度为矢量；矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度；在矢量场中，若F=J0,称之为旋度场(或涡旋场)，J称为旋度源(或涡旋源)；若矢量场处处A=0，称之为无旋场。3.旋度的计算:直角坐标系下：圆柱坐标系下：球面坐标系下：证明：同理证=04、旋度的重要性质1）任意矢量场旋度的散度等于零。对于一个散度恒为零的矢量场，可以把它表示为矢