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1、矢量代数赵黎晨第一节矢量分析与场论基础在电动力学屮应用较多的数学知识是矢量分析与场论基础。因而，我们首先对这两方面的有关内容进行总结归纳•主耍是为了应用，而不追求数学上的严格.一、矢量代数1•两个矢量的点乘、叉乘若刁=（°］卫2卫3）»=贝IJ5,5的点乘（也称标量积）a-b=a}b}+a2b2+a3b3（a*b=b-a=
2、^
3、
4、^
5、cosa）0xb=%bJa2b2的叉乘（也称矢量积）a3=e}(a2b3-a3b2)-^-e2(gQ-a]b3)--e?)(a]b2-a2b})b3axb的大小
6、a
7、
8、^
9、sina,a为N,方的夹角方向：既垂直于又垂直于方，与0,5满足右手螺旋
10、关系。叉乘的不可交换性axb=-bxd2•三个矢量的混合积c-(axfe)=c1(axfo)1+c2(axfe)2+c3(ax&)3=q(a3一ci3b2)+c2一6Z,/?3)+c3(a}h2一a2hl)儿何解释:以订,6为棱的平行六面体的体积性质：⑴轮换不变性，在点乘号，叉乘号位置不变的悄况卜:把矢量按顺序轮换,具混合枳不变.a•(bxc)=b•(cxa)=c•(axb)（2）若只把两个矢量对调，混合积反号。a•(bxc)=-a•(cxb)=-b•(axc)=-c•(bxa)（3）若矢量位置不变只交换点乘号叉乘号，混合积不变一但必须先做叉乘（用括号保证这个顺序）。a-(bx
11、c)=(axb)-c1•三个矢量的叉乘令Cx(5xft)=fa}b2-a2h}=c2(axb2一a2b^一c3(偽勺一d肉)=a}(c2b2+c3b3)-/?((c2a2+c3a3)=a{(c#[+c2b2+C3S)_b](C]d[+c2a2+c3a3)=ax(cb)-bx(c-a)同理f2=a2(c-b)-b2(c-a)f3=a3(c-b)-b3(c-a)故cx(axb)=f=(c-b)a-(c-a)b血(axb)xc=(c-d)b-(c-b)a二者都是：把括号外的矢量与离它较远的矢量点乘，再乘以另一矢量所得的项取正号，把括号外的矢量与离它较近的矢量点乘，再乘以另一矢量所得的
12、项取负号。两者取和。（“远正近负，再取和”）二、场的概念在许多科学技术问题中，常常要考虑某种物理量（如温度、密度、电势、力、速度）在空间的分布和变化规律。这是需耍引入场的概念。如果在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，就说在这空间里确定了•••••••••该物理量的一个场。1.数学上，场是空间时间的函数时间坐标t空间坐标x（x,y,z）=ix+jy+层，i,j.k构成右手系。标量场空间的每一个点对应一个标量矢量场卒间的每一个点对应一个矢量张量场空间的每一个点对应一个张量1.物理上，描述某一物理客体，具有一定分布规律的物理量2.记号标量场0=0（壬）矢
13、量场F=戸（元）TTTT张量场T=TG4•场中的物理量在各点处的对应值随时间变化的，这个场称为稳定场；否则称为不稳定场。三、场分析及其微分特征量（矢量微分）整体上来看分析场的奇异性，敛散性局域上來看函数某点附近的性质，微分特征量。1•梯度在标量场屮，标量的分布情况，可以将借助等值面或等值线来进行了解。但是这只能大致地了解到标量在场中总的分布情况，是一种整体性的了解。而研究标量场的另一个重要方面，就是还要对它作局部性的了解，即还要考察标量在场中各个点的邻域内沿每个方向的变化情况。为此，引入方向导数，梯度的概念。（1）方向导数方向导数给出了函数0（刃在给定点处沿某个方向的变化率问题
14、。然而从场中的给定点出发，有无穷多个方向，函数沿哪个方向的变化率最大呢？最大变化率为多少呢？带着这些问题，我们来看方向导数。函数0（无）在应点/方向上的方向导数为（场的空间坐标为X=%（/））〃穿）y（l）,Z（/））alal80dxd（/）dyd（/）dzdxdldy81dzdl/方向上的单位矢斬泻+會畤冷f驴COS0,dz—=codl畅点,方向上的方向余弦。其余三个数嚳，I,沽也可视为某-矢量的坐标_6(p_6(p_j+——ev+——(仁ooxdydz⑵梯度在肓角坐标系卜，定义梯度(gradient)：grad(p=7串=学乞+雲兀+罟兀。oxdy&这样上式可以表示为罟=(
15、W)•石。从该式可以看出梯度是方向导数的一•种，方向为标量函数0(可上升最快的方向，大小为其改变率数值。(3)梯度的性质(1)梯度与坐标系的选取无关，只取决于场的分布;(2)方向导数是梯度在该方向上的投影；(3)梯度的方向为指向0(可增加最快的方向。2•散度：⑴通量通量的定义，设有矢量场戸，沿某一有向曲面S的某一侧面的曲面枳分O=$叫做矢量场F向积分所沿一侧穿过曲而5的通量。说明：1•积分号无论儿重积分都用单重记号，看变量而定儿重积分；2.通量可以叠加；3.若为闭合面，①=jF・df,—般约
