矢量场论复习

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1、数学物理方法预备知识矢量分析与场论一、标量场的梯度，算符1、场的概念(TheConceptofField)场是用空间位置函数来表征的。在物理学中，经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。如果物理量是标量，并且空间每一点都对应着该物理量的一个确定数值，则称此空间为标量场。如：电势场、温度场等。如果物理量是矢量，且空间每一点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。如：电场、速度场等。若场中各点物理量不随时间变化，称为稳定场，否则，称为不稳定场。2、方向导数(DirectionalGradient)方向导数是标量函数在空间一点沿任意方向相对距离的变化率，它的数值与所取的方向有关。一般来说，在

2、不同的方向上的值是不同的，但它并不是矢量。如图所示，为场中的任意方向，P1是这个方向线上给定的一点，P2为同一线上邻近的一点。为p2和p1之间的距离，从p1沿到p2的增量为若下列极限P2P1　　　　　(1.1)存在，则该极限值记作，称之为标量场在p1处沿的方向导数。14北京交通大学理学院物理系l数学物理方法预备知识3.梯度（Gradient）在某点沿某一确定方向取得在该点的最大方向导数。(1.2)(1.3)4、算符（哈密顿算符）(HamiltonFunctor)算符既具有微分性质又具有方向性质。在任意方向上移动线元距离dl，的增量称为方向微分，即　　　(1.4)显然，任意两点值差为　(1.5)

3、二、矢量场的散度、旋度、高斯定理和斯托克斯定理1、通量(Fluid)一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量场方向通过的流量是dN，而dN是以ds为底，以vcosθ为高的斜柱体的体积，即(1.6)称为矢量通过面元的通量。对于有向曲面s，总可以将s分成许多足够小的面元，于是通过曲面s的通量N即为每一面元通量之积(1.7)14北京交通大学理学院物理系l数学物理方法预备知识θds对于闭合曲面s，通量N为(1.8)2、散度(Divergence)设封闭曲面s所包围的体积为，则(1.9)就是矢量场在中单位体积的平均通量，或者平均发散量。当闭合曲面s及其所包围的体积向其内某点收缩时，若平均发散量的极限值存

4、在，便记作(1.10)称为矢量场在该点的散度(div是divergence的缩写)。散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度，当div，表示该点有散发通量的正源；当div，表示该点有吸收通量的负源；当div，表示该点为无源场。3、高斯定理(Gauss’sTheorem)(1.11)它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分，反之亦然。14北京交通大学理学院物理系l数学物理方法预备知识4、矢量场的环流(TheCircumfluenceofVector’sField)在数学上，将矢量场沿一条有向闭合曲线L（即取定了线正方向的闭合曲线）的线积分（1.12）称为沿该曲线L的

5、循环量或环流量。5、旋度(Rotation)设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么以闭合曲线L为界的面积逐渐缩小，也将逐渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值，记作(1.13)即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向，且通常L的正方向与规定要构成右手螺旋法则，为此定义(1.14)称为矢量场的旋度（rot是rotation缩写）。旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度，如果场中处处rot称为无旋场。6、斯托克斯定理（Stoke’sTheorem）(1.15)它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合曲线为界的任意曲

6、面的面积分，反之亦然。14北京交通大学理学院物理系l数学物理方法预备知识7、度量系数(MeasurementCoefficents)设x,y,z是某点的笛卡尔坐标，x1,x2,x3是这点的正交曲线坐标，长度元的平方表示为　　　(1.16)其中(1.17)称度量系数（或拉梅系数），正交坐标系完全由三个拉梅系数h1,h2,h3来描述。8、哈密顿算符、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符在正交曲线坐标系下的一般表达式(TheGeneralExpressionofHamiltonOperator,Gradient,Divergence,RotationandLaplaceOperatorinOrthogon

7、alCurvilinearCoordinates)(1.18)14北京交通大学理学院物理系l数学物理方法预备知识　　　　(1.19)　　(1.20)其中为正交曲线坐标系的基矢；是一个标量函数；是一个矢量函数，只有在笛卡尔坐标系中，，在其它正交坐标系中　　(1.21)9、不同坐标系中的微分表达式(DifferenceExpressioninDifferentCoordinates)a)笛卡尔坐标x1