chapter-1矢量场论

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1、第一章矢量分析三种常用的坐标系矢量场与标量场标量场的梯度矢量场的散度矢量场的旋度重要的恒等式1.1三种常用的坐标系为了描述物理量在空间的位置与分布，必须引入坐标系电磁分析中常用有坐标系有：直角坐标系圆柱坐标系球坐标系根据研究的物体和空间的特点选用不同的坐标系坐标系的要素坐标变量:任何描述三维空间的坐标系都要有三个独立的坐标变量坐标面：三个独立的坐标变量均为常数时代表的三组曲面正交曲线坐标系：三组坐标面在空间每一点都正交坐标单位矢量：模为1，并以各坐标变量正的增加方向作为正方向。一个正交坐标系的坐标单位矢量相互正交并满足右手螺旋法则1.1.1直角坐

2、标系三个坐标变量：x,y,z(-

3、小为面积，方向为面的法线方向。基本矢量面元：ax方向，axdydzay方向，aydxdzaz方向，azdxdy0xyzM(x,y,z)azaxaydxdydz直角坐标系中的体积元dV=dxdydz0xyzdxdydz1.1.2圆柱坐标系三个坐标变量(r,,z)(0r<+,02,-

4、垂直距离任意矢量A的表示:单位坐标矢量ar、a、az，它们相互正交，而且遵循右手螺旋法则：圆柱坐标系中的线元、面元和体积元基本矢量线元：ar方向，ardra方向，ardaz方向，azdzdl=ardr+ard+azdz基本矢量面元：ar方向，arrddza方向，adrdzaz方向，azrddr体积元:dV=rddrdzxyzodMaazardrdz1.1.3球坐标系三个坐标变量(r，，)(0r<+,0,02)点M(x1,y1,z1)是以下三个坐标面的交点:r=r1，是以原点为中心，以r1为半径的

5、球面，r1是点M到原点的直线距离=1，是以原点为顶点，以z轴为轴线的圆锥面，1是正向z轴与连线OM之间的夹角=1，是以z轴为界的半平面，1是xOz平面与通过M点的半平面之间的夹角。坐标变量称为方位角任意矢量A的表示单位坐标矢量ar、a、a，它们相互正交，而且遵循右手螺旋法则：球坐标系中的线元、面元和体积元基本矢量线元：ar方向，ardra方向，arda方向，arsinddl=ardr+ard+arsind基本矢量面元：ar方向，arr2sindda方向，arsinddra方向，azrdd

6、rdV=r2sindrdd1.1.4三种坐标系的坐标变量之间的关系1.1.5三种坐标系的坐标单位矢量之间的关系柱坐标系和球坐标系之间的关系矢量代数矢量的表示：A＝aAA()，其中A表示模或长度，aA表示方向的单位矢量.A＝aAAaA利用正交曲线坐标系中的坐标单位矢量，可以把矢量分解为：xyzAxAyAz矢量的加法或减法：把两个矢量的相应分量相加或相减ABC=A+BABC=A+BABC=A-B-BABC=A-B矢量的标量积或点积是个标量，满足交换律和分配律BAABcosABAB对于单位坐标矢量，有且有矢量的矢量积或叉积是一个矢量，它的大小

7、等于这两个矢量作成的平等四边形的面积，方向与这个平等四边行所在的平面的垂线方向平行，且A、B、AB符合右手螺旋定则。anABABABBsin(AB)anAB右手螺旋定则矢量积服从分配律。对于坐标单位矢量，有aiajak且有例：证明三角余弦定理。ABC=A+BAB矢量场与标量场场：场是物理量在空间的分布不同位置，物理量的值不同空间每一点有一物理量的值相对应矢量场用散度、旋度、闭合面通量、闭合回路环量反映其特性散度、闭合面通量：发散源旋度、闭合回路环量：旋涡源标量场：标量在空间的分布标量场用关于空间位置的标量函数表示标量场用等值面、方向导

8、数、梯度矢量场：矢量在空间的分布矢量场用关于空间位置的矢量函数表示形象描绘场分布的工具--场线矢量场--矢量线标量场--等值线(面).其