预备知识一----矢量场论

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1、——预备知识—矢量场论0.1矢量函数标量连续可微函数，其导数定义为标量函数当一个矢量依某个变量的变化而变化，该矢量就称为矢量函数，简称矢函数，或者说矢量的每个分量都是函数，在直角坐标系中可表示为矢量函数单变量矢函数：导数：微分：结论：对矢函数的每个分量分别求导数或微分即可。0.1.1矢函数的导数和微分多变量矢函数偏导数：结论：对矢函数的每个分量分别求偏导数。说明：对电磁学来讲，一般有x、y、z、t四个自变量。结果是曲线下所围的面积0.1.2矢函数的积分曲线积分其中复习定积分有向线元矢量：大小为，方向为该点处有向曲线的正方向有向曲线：定义了

2、正方向的曲线一、线积分当时，变成有向线元，其方向为该点处的切线方向，亦即有向曲线的正方向在直角坐标系中，有向线元矢量可表示为定义：矢函数在L上的标量线积分为特别地，环路和环量环路环量＝其中二、面积分正侧面负侧面有向曲面：定义了正侧面的曲面当时，变成有向面元，其方向为该处有向曲面的正法线方向法线方向：，从负侧面指向正侧面并与该面垂直的方向有向面元：在直角坐标系中，有向面元矢量可表示为定义：在S上的标量积分为称为在S上的通量如果S是封闭曲面，习惯上规定其外侧面为正侧面，的通量记为S正侧面正侧面三、几个常用矢量法向单位矢量：(normal)切向

3、单位矢量：(tangential)一般令曲线的切向与曲线的正方向相同曲线上任意点的法向、切向均唯一曲面上任意点的法向唯一、切向有无数正方向0M(x，y，z)xyz模值：任意点M的坐标为（x,y,z），矢径：一般用某点的矢径来指代某点，即：矢径为的点常被称为点或点。M的矢径为：两个矢量运算在直角坐标系中的数学表示和差等于对应分量之和或之差点积叉积矢量运算：在直角坐标系中，位置矢量其微分体积元为在直角坐标系中，与三个坐标单位矢量垂直的三个面积元分别为0.2标量场的梯度场的概念场的一个重要的属性是它占有一定空间，而且在该空间域内，除有限个点和表

4、面外，其物理量应是处处连续的；场的分类场概念的引入：物理量（如温度、电场、磁场）在空间中以某种形式分布，若每一时刻每一位置该物理量都有一个确定的值，则称在该空间中确定了该物理量的场。按物理量的性质标量场物理量为标量（温度场、电位场）矢量场物理场为矢量（电场、磁场）按物理量的变化特性静态场物理量不随时间的变化而变化时变场（动态场）物理量随时间的变化而变化空间某一区域定义一个标量函数，其值随空间坐标的变化而变化，有时还可能随时间变化。则称该区域存在一个标量场。在标量场中，各点的场量是随空间位置变化的标量。一个标量场可以用一个标量函数来表示。例

5、如，在直角坐标下，如温度场，电位场，高度场。0.3.1标量场的等值面标量场例如：等温面、等位面在研究标量场时，常用等值面形象、直观地描述物理量在空间的分布状况。等值面的特点常数c取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面族充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。思考“爬山”同样的增量情况下沿什么方向最“陡”？由所有场值相等的点所构成的面（线），即为等值面（线）。即若标量函数为，则等值面方程为等值面的定义1.方向导数的概念0.3.2方向导数标量场u(x,y,z)的等值面只描述了场量u的分布状况，而研究标量

6、场的另一个重要方面是，研究标量场u(x,y,z)在场中任一点的邻域内沿各个方向的变化规律。为此，引入了标量场的方向导数和梯度的概念。设M0是标量场u(M)中的一个已知点，从M0出发沿某一方向引一条射线l。M是l上的动点，到点M0的距离为Δl，如图所示。若当M沿射线趋于M0(即Δl趋于零)时，比值的极限存在，则称此极限为标量场u(M)在点M0处沿l方向的方向导数，即：方向导数表征标量场空间中，某点处场值沿各个方向变化的规律。由此可知，方向导数是标量场u(M)在点M0处沿l方向对距离的变化率。注：方向导数与点M0和l方向都有关，因此，标量场中

7、，在一个给定点M0处沿不同的方向，其方向导数一般是不同的。方向导数物理意义2.方向导数的计算公式方向导数的定义与坐标系无关，但其具体的计算公式却与坐标系有关。根据复合函数求导法则，在直角坐标系中：设l方向的方向余弦为cosα、cosβ、cosγ，即：则得到直角坐标系中方向导数的计算公式为：0.3.3梯度从标量场的某一点出发有无穷多个方向。一般来说，沿这些不同方向上的变化率的大小(方向导数)是不同的，必然存在一个变化最大的方向。为此，引入梯度的概念。1.梯度的概念标量场的梯度是一个矢量。标量场变化最大的方向为标量场梯度的方向，其大小为最大的

8、变化率或者最大的方向导数。记作gradu，即：2.梯度的计算式梯度的定义与坐标系无关，但梯度的具体表达式与坐标系有关。式中：为场量变化率最大方向上的单位矢量在直角坐标系中，变化率最大的方向上的